Prove, similarly, that integral0^b x^4 d x=b^5 / 5.

Passo 1

A questão pede para provar que integral0^b x^4,dx = tfracb^55. O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de potência para antiderivadas. Vamos precisar encontrar uma função F(x) cuja derivada seja x^4.

Passo 2

Para achar a antiderivada de x^4, lembramos da regra de potência: se F(x)=tfracx^n+1n+1, então F'(x)=x^n. Aqui, basta tomar F(x)=x^55Calculando a derivada: F'(x)=ddxl(x^55r)=5x^45=x^4,como queríamos.

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo. Se F'(x)=f(x), então integral0^b f(x),dx = F(b)-F(0)No nosso caso, $$\int_{0}^{b} x^{4},dx = F(b)-F(0) = \frac{b^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5} = \frac{b^{5}}{5}.
$$

Resposta

\displaystyle\int_{0}^{b} x^{4},dx = \frac{b^{5}}{5}.

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