ii) \int\left(e^{a x}+e^{-a x}\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\bigl(e^{ax}+e^{-ax}\bigr)^{2}\,dx.
Este é um problema de integração de função exponencial; vamos usar a expansão do quadrado e a regra básica \displaystyle \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C.

Passo 2

Expandimos o integrando:
\bigl(e^{ax}+e^{-ax}\bigr)^{2} = e^{2ax} + 2\,e^{ax}e^{-ax} + e^{-2ax} = e^{2ax} + 2 + e^{-2ax}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int e^{2ax}\,dx = \frac{1}{2a}e^{2ax},
\int 2\,dx = 2x,
\int e^{-2ax}\,dx = -\frac{1}{2a}e^{-2ax}.

Passo 4

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(e^{ax}+e^{-ax}\bigr)^{2}dx = \frac{1}{2a}e^{2ax} + 2x - \frac{1}{2a}e^{-2ax} + C.

Resposta

\boxed{\frac{1}{2a}e^{2ax} + 2x - \frac{1}{2a}e^{-2ax} + C}.

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