1. Se f(x, y)=-5 x^{2}+3 x y-7 y^{2}, ache: (Valor: 2,0 pontos)
    a) \Delta f(2,1), \mathrm{o} incremento da função em (2,1);
    b) \Delta f(2,1) quando \Delta x=-0,02 e \Delta y=0,03;
    c) d f(2,1, \Delta x, \Delta y), a diferencial total de f(x, y) em (2,1);
    d) d f(2,1 ;-0,02 ; 0,03).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = -5x^{2} + 3xy -7y^{2}
e pede:
a) a expressão do incremento \Delta f(2,1);
b) esse incremento para \Delta x=-0,02 e \Delta y=0,03;
c) a diferencial total d f(2,1;\Delta x,\Delta y);
d) essa diferencial para \Delta x=-0,02 e \Delta y=0,03.
Para isso precisamos calcular f(2,1), expandir f(2+\Delta x,1+\Delta y) e também obter as derivadas parciais em (2,1).

Passo 2

Definimos
\Delta f(2,1)=f(2+\Delta x,\,1+\Delta y)-f(2,1).
Primeiro,
f(2,1)=-5\cdot2^{2}+3\cdot2\cdot1-7\cdot1^{2}=-20+6-7=-21.
Agora expanda
f(2+\Delta x,1+\Delta y)=-5(2+\Delta x)^{2}+3(2+\Delta x)(1+\Delta y)-7(1+\Delta y)^{2}
e subtraia -21. Ao simplificar, os termos constantes se anulam e sobra
\Delta f(2,1) = -17\,\Delta x \;-\;8\,\Delta y \;-\;5(\Delta x)^{2}\;+\;3\,\Delta x\,\Delta y\;-\;7(\Delta y)^{2}.

Passo 3

Para \Delta x=-0,02 e \Delta y=0,03,
\Delta f(2,1)=-17(-0,02)-8(0,03)-5(-0,02)^{2}+3(-0,02)(0,03)-7(0,03)^{2}.
Calculemos os termos:
-17(-0,02)=0,34,\quad -8(0,03)=-0,24,\quad -5(0,0004)=-0,002,
3(-0,0006)=-0,0018,\quad -7(0,0009)=-0,0063.
Somando tudo:
\Delta f(2,1)\approx 0,34-0,24-0,002-0,0018-0,0063=0,0899.

Passo 4

A diferencial total em (2,1) é
d f(2,1;\Delta x,\Delta y) = f_x(2,1)\,\Delta x + f_y(2,1)\,\Delta y.
Aqui
f_x(x,y)=-10x+3y,\quad f_y(x,y)=3x-14y,
logo em (2,1)
f_x(2,1)=-10\cdot2+3\cdot1=-17,\quad f_y(2,1)=3\cdot2-14\cdot1=-8.
Assim
d f(2,1;\Delta x,\Delta y) = -17\,\Delta x \;-\;8\,\Delta y.

Passo 5

Substituindo \Delta x=-0,02 e \Delta y=0,03 na diferencial:
d f(2,1;-0,02,0,03) = -17(-0,02)-8(0,03) =0,34-0,24=0,10.

Resposta

a) \displaystyle \Delta f(2,1) = -17\,\Delta x -8\,\Delta y -5(\Delta x)^{2} +3\,\Delta x\,\Delta y -7(\Delta y)^{2}.
b) \displaystyle \Delta f(2,1)\approx 0,0899.
c) \displaystyle d f(2,1;\Delta x,\Delta y) = -17\,\Delta x -8\,\Delta y.
d) \displaystyle d f(2,1;-0,02,0,03) = 0,10.

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