II- Resolver o problema de valor inicial
(x^2+9) dydx+x y=0, y(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem a equação diferencial:
(x^2+9) dydx + x y = 0, y(0) = 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando. Aqui, temos uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar dividir a equação por x^2 + 9 para deixá-la no formato padrão e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Vamos começar dividindo toda a equação por x^2 + 9 para simplificar:
dydx + xx^2 + 9 y = 0
Agora, a equação está no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
dydx + P(x) y = Q(x)
Aqui, P(x) = xx^2 + 9 e Q(x) = 0.

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Vamos calcular a integral de P(x):
integral xx^2 + 9 , dx
Fazendo uma substituição simples, deixe u = x^2 + 9, então du = 2x , dx, ou seja, du2 = x , dx.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral xx^2 + 9 , dx = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C = 12 ln(x^2 + 9) + C
Então, o fator integrante é:
mu(x) = e^12 ln(x^2 + 9) = (x^2 + 9)^1/2 = raizx^2 + 9

Passo 5

Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
raizx^2 + 9 cdot dydx + xraizx^2 + 9 y = 0
Isso nos dá uma equação que pode ser escrita como derivada de um produto:
ddx ( y cdot raizx^2 + 9 ) = 0

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral ddx ( y cdot raizx^2 + 9 ) , dx = integral 0 , dx
Isso resulta em:
y cdot raizx^2 + 9 = C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para y:
y = Craizx^2 + 9

Passo 8

Usamos a condição inicial y(0) = 2 para encontrar C:
2 = Craiz0^2 + 9 Rightarrow 2 = C3 Rightarrow C = 6

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial y(0) = 2 é:
y = 6raizx^2 + 9

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