II- Resolver o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem a equação diferencial:
Primeiro, vamos identificar que tipo de equação diferencial estamos lidando. Aqui, temos uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar dividir a equação por
para deixá-la no formato padrão e usar o método do fator integrante.
Passo 2
Vamos começar dividindo toda a equação por
para simplificar:
Agora, a equação está no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui,
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular a integral de
:
Fazendo uma substituição simples, deixe
, então
, ou seja,
.
Passo 4
Substituindo na integral:
Então, o fator integrante é:
Passo 5
Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Isso nos dá uma equação que pode ser escrita como derivada de um produto:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial
é: