Resolva as equações diferenciais.
x d yd x+y=1

Passo 1

Então, vamos resolver a equação diferencial que é dada por:
x d yd x + y = 1
Esse tipo de equação é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
d yd x + P(x) y = Q(x)
Para isso, dividimos os dois lados da equação original por x:
d yd x + 1x y = 1x
Aqui, identificamos que:
  • $ P(x) = \frac{1}{x} $
  • $ Q(x) = \frac{1}{x} $

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
mu(x)
Substituindo $ P(x) $:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Como estamos trabalhando com valores de P(x) positivos, podemos simplificar para $ \mu(x) = x $.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante $ \mu(x) = x $:
mu(x) = x
Simplificando:
x d yd x + x cdot 1x y = x cdot 1x
Perceba que voltamos à equação original, o que confirma que aplicamos corretamente o fator integrante.

Passo 5

A parte da esquerda da equação agora pode ser escrita como a derivada do produto $ \mu(x) y $:
mu(x) y
Isso acontece porque:
ddx (x y) = 1

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx (x y) dx = integral 1 dx
A integral do lado esquerdo simplifica para $ x y $, e a integral do lado direito é $ x + C $, onde $ C $ é a constante de integração:
x y

Passo 7

Finalmente, isolamos $ y $ dividindo ambos os lados por y :
x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 1 + Cx

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