Resolva as equações diferenciais.
Passo 1
Então, vamos resolver a equação diferencial que é dada por:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Para isso, dividimos os dois lados da equação original por
:
Aqui, identificamos que:
- $ P(x) = \frac{1}{x} $
- $ Q(x) = \frac{1}{x} $
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante $ \mu(x) $, que é dado por:
Substituindo $ P(x) $:
Como estamos trabalhando com valores de
positivos, podemos simplificar para $ \mu(x) = x $.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante $ \mu(x) = x $:
Simplificando:
Perceba que voltamos à equação original, o que confirma que aplicamos corretamente o fator integrante.
Passo 5
A parte da esquerda da equação agora pode ser escrita como a derivada do produto $ \mu(x) y $:
Isso acontece porque:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para $ x y $, e a integral do lado direito é $ x + C $, onde $ C $ é a constante de integração:
Passo 7
Finalmente, isolamos $ y $ dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: