I- Resolva as equações diferencias abaixo:
x y+x^2+1+(x^2+x) d yd x=0

Passo 1

A equação dada é (x^2 + x)dfracdydx + x y + x^2 + 1 = 0. Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem em y(x), e vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Dividindo tudo por x^2 + x para colocar na forma padrão dfracdydx + P(x)y = Q(x), obtemos
dydx + xx^2+x,y = -x^2+1x^2+x
Como xx^2+x=1x+1, a equação fica
dydx + 1x+1,y = -x^2+1x(x+1)

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral 1x+1,dxr) = x+1

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x+1, o lado esquerdo vira a derivada de (x+1)y. Assim,
ddxl((x+1)yr) = -(x+1)cdotx^2+1x(x+1) = -x^2+1x = -l(x + 1xr)

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
(x+1)y = -integrall(x + 1xr)dx + C = -l(x^22 + ln|x|r) + C
Isolando y, chega-se a
y = C - x^22 - ln|x|x+1

Resposta

y = C - tfracx^22 - ln|x|x+1

Exercícios relacionados