I- Resolva as equações diferencias abaixo:
dydx+210+2 x y=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial:
dydx+210+2 x y=4
Estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente equações lineares. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante que nos ajuda a encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
dydx + P(x) y = Q(x)
Comparando com a nossa equação:
  • $ P(x) = \frac{2}{10 + 2x} $
  • $ Q(x) = 4 $

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ($ \mu(x) $). Esse fator é essencial para simplificar a equação e facilitar a integração. A fórmula para o fator integrante é:
mu(x)
Vamos calcular a integral de $ P(x) $:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Primeiro, simplificamos a expressão:
P(x)
Então, a integral fica:
integral 210 + 2x , dx
Portanto, o fator integrante é:
210 + 2x = 22(x + 5) = 1x + 5
Como $ x + 5 $ é positivo no contexto do problema, podemos simplificar para:
integral 1x + 5 , dx = ln|x + 5|

Passo 4

Vamos multiplicar toda a equação diferencial original pelo fator integrante $ \mu(x) $:
mu(x)
Simplificando o segundo termo:
(x + 5) cdot dydx + (x + 5) cdot 210 + 2x y = 4(x + 5)
Então, a equação fica:
2(x + 5)10 + 2x = 2(x + 5)2(x + 5) = 1

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $. Ou seja:
mu(x) y
Vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
ddx [ (x + 5) y ] = 4(x + 5)
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ (x + 5) y $. No lado direito:
x
Então, temos:
integral ddx [ (x + 5) y ] , dx = integral 4(x + 5) , dx

Passo 6

Finalmente, vamos isolar $ y $ para encontrar a solução geral da equação diferencial:
y
Podemos simplificar a expressão dividindo cada termo pelo denominador:
y = 2x^2 + 20x + Cx + 5

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 2x + 10 + Cx + 5
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados