I- Resolva as equações diferencias abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial:
Estamos trabalhando com equações diferenciais de primeira ordem, especificamente equações lineares. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método do fator integrante que nos ajuda a encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Comparando com a nossa equação:
- $ P(x) = \frac{2}{10 + 2x} $
- $ Q(x) = 4 $
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante ($ \mu(x) $). Esse fator é essencial para simplificar a equação e facilitar a integração. A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular a integral de $ P(x) $:
Primeiro, simplificamos a expressão:
Então, a integral fica:
Portanto, o fator integrante é:
Como $ x + 5 $ é positivo no contexto do problema, podemos simplificar para:
Passo 4
Vamos multiplicar toda a equação diferencial original pelo fator integrante $ \mu(x) $:
Simplificando o segundo termo:
Então, a equação fica:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ \mu(x) y $. Ou seja:
Vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
A integral do lado esquerdo é simplesmente $ (x + 5) y $. No lado direito:
Então, temos:
Passo 6
Finalmente, vamos isolar $ y $ para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Podemos simplificar a expressão dividindo cada termo pelo denominador:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.