( 3,0 pontos) (Colisões): Duas partículas de massas m_{1} e m_{2}, com velocidades iniciais v_{1} e v_{2} vão colidir sobre uma mesa sem atrito. Considere que a colisão seja completamente inelástica para encontrar a velocidade delas quando:
(b) (1,5 ponto): v_{1} e v_{2} são perpendiculares

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Duas partículas com massas \,m_{1}\, e \,m_{2}\,.
  • Velocidades iniciais \,\vec{v}_{1}\, e \,\vec{v}_{2}\, que são perpendiculares entre si.
  • A colisão é completamente inelástica (as partículas ficam presas e seguem juntas após a colisão).
  • A superfície é uma mesa sem atrito (não há forças externas horizontais).
O que o problema pede:
  • Encontrar a velocidade delas (isto é, a velocidade final do conjunto preso) no caso em que \,\vec{v}_{1}\, e \,\vec{v}_{2}\, são perpendiculares.

Passo 2

Ideia física essencial (explicação didática): quando não há forças externas horizontais relevantes (mesa sem atrito), o momento linear total do sistema é conservado durante a colisão, mesmo que haja perda de energia cinética numa colisão inelástica. O momento linear é um vetor que, para uma partícula, é o produto da sua massa pela sua velocidade. Não vou assumir que você já sabe isso: pense assim — antes da colisão, cada partícula carrega “quantidade de movimento” dependendo da sua massa e velocidade; depois da colisão, como não há força externa para empurrar o sistema no plano da mesa, a soma vetorial dessa quantidade de movimento antes deve ser igual à soma vetorial depois.

Passo 3

Escrever a conservação do momento linear em forma vetorial (aqui já aplicamos a ideia acima):
\vec{p}_{\text{inicial}}= \vec{p}_{\text{final}}.
A soma dos momentos iniciais é
\vec{p}_{\text{inicial}}= m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}.
Depois da colisão, como as partículas ficam presas, a massa total é m_{1}+m_{2} e elas movem-se com uma única velocidade \vec{v}_{f}, então o momento final é
\vec{p}_{\text{final}}=(m_{1}+m_{2})\vec{v}_{f}.
Igualando:
m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}=(m_{1}+m_{2})\vec{v}_{f}.
Isolando \vec{v}_{f}:
\vec{v}_{f}=\frac{m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
Isto já é a fórmula geral para a velocidade após uma colisão completamente inelástica em duas dimensões.

Passo 4

Agora use a informação específica do item: \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são perpendiculares. Para trabalhar com vetores é prático escolher eixos coordenados alinhados com as velocidades iniciais. Escolho:
\vec{v}_{1}=v_{1}\,\hat{i},\qquad \vec{v}_{2}=v_{2}\,\hat{j},
onde \hat{i} e \hat{j} são vetores unitários ortogonais (eixos x e y), e \,v_1 e \,v_2 são as magnitudes das velocidades iniciais. Substituindo na expressão de \vec{v}_f:
\vec{v}_{f}=\frac{m_{1}v_{1}\,\hat{i}+m_{2}v_{2}\,\hat{j}}{m_{1}+m_{2}}.
Portanto os componentes de \vec{v}_{f} são
v_{f,x}=\frac{m_{1}v_{1}}{m_{1}+m_{2}},\qquad v_{f,y}=\frac{m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
Expliquei passo a passo: multiplica as massas pelas velocidades (esses produtos são momentos nos eixos), soma componente a componente e divide pela massa total.

Passo 5

Agora obter a magnitude (módulo) da velocidade final, usando o teorema de Pitágoras para o vetor com componentes ortogonais:
\begin{aligned} \left\|\vec{v}_{f}\right\| &=\sqrt{v_{f,x}^{2}+v_{f,y}^{2}}\\[6pt] &=\sqrt{\left(\frac{m_{1}v_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}}\\[6pt] &=\frac{\sqrt{(m_{1}v_{1})^{2}+(m_{2}v_{2})^{2}}}{m_{1}+m_{2}}. \end{aligned}
Comentário didático: a raiz quadrada vem porque você está combinando duas componentes ortogonais; os numeradores são os momentos nas direções x e y, e o denominador é a massa total.]

Passo 6

Determinar a direção da velocidade final (ângulo \theta medido a partir da direção de \vec{v}_{1}, isto é, do eixo x). Como já temos os componentes,
\tan\theta=\frac{v_{f,y}}{v_{f,x}}=\frac{\dfrac{m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\dfrac{m_{1}v_{1}}{m_{1}+m_{2}}}=\frac{m_{2}v_{2}}{m_{1}v_{1}}.
Logo
\theta=\arctan\!\left(\frac{m_{2}v_{2}}{m_{1}v_{1}}\right).
Explicação: o fator (m_{1}+m_{2}) cancela ao formar a razão das componentes, por isso o ângulo depende apenas da razão entre os momentos iniciais nas duas direções.

Passo 7

Resumo e interpretação final (pegar o que é útil para a prova):
  • A velocidade final em forma vetorial:
\vec{v}_{f}=\frac{m_{1}v_{1}\,\hat{i}+m_{2}v_{2}\,\hat{j}}{m_{1}+m_{2}}.
  • A magnitude:
\left\|\vec{v}_{f}\right\|=\frac{\sqrt{(m_{1}v_{1})^{2}+(m_{2}v_{2})^{2}}}{m_{1}+m_{2}}.
  • A direção (ângulo em relação a \vec{v}_{1}):
\theta=\arctan\!\left(\frac{m_{2}v_{2}}{m_{1}v_{1}}\right).
Dica prática para a prova: alinhe sempre um eixo com \vec{v}_{1} (ou com a velocidade que for conveniente) para transformar o problema vetorial em componentes; use conservação do momento componente a componente; calcule magnitude e ângulo com Pitágoras e arco-tangente.

Resposta

\displaystyle \vec{v}_{f}=\frac{m_{1}v_{1}\,\hat{i}+m_{2}v_{2}\,\hat{j}}{m_{1}+m_{2}}
\displaystyle \left\|\vec{v}_{f}\right\|=\frac{\sqrt{(m_{1}v_{1})^{2}+(m_{2}v_{2})^{2}}}{m_{1}+m_{2}}
\displaystyle \theta=\arctan\!\left(\frac{m_{2}v_{2}}{m_{1}v_{1}}\right)

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