III. 6 Lista 4 de Exercícios - Séries de Fourier.

a) f(x)=25, para x \in[0, \pi]
b) f(x)=\operatorname{sen} x, para x \in[0, \pi]
I) Escreva suas representações em série de Fourier em senos.
II) Escreva suas representações em série de Fourier em cossenos.
c) f(x)=x^{2}, para x \in[0, \pi]

Passo 1

O enunciado pede as séries de Fourier–seno e Fourier–cosseno para três funções definidas em [0,\pi]:
f(x)=25
f(x)=\sin x
f(x)=x^2
O conteúdo é séries de Fourier em meia-onda: para a série de senos usamos a extensão ímpar e para a série de cossenos a extensão par. Precisaremos das fórmulas dos coeficientes:
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,\sin(nx)\,dx,
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx, \quad a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\,\cos(nx)\,dx.

Passo 2

Definimos as séries:
– Série de senos (extensão ímpar):
f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx).
– Série de cossenos (extensão par):
f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx).

Passo 3

Função constante f(x)=25.
Cálculo de
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}25\sin(nx)\,dx =\frac{50}{\pi}\left[\frac{1-\cos(n\pi)}{n}\right] =\frac{50}{\pi n}\bigl(1-(-1)^n\bigr).
Logo b_n=0 se n é par, e b_{2k-1}=\frac{100}{\pi(2k-1)}.
Portanto
25\sim\sum_{k=1}^{\infty}\frac{100}{\pi(2k-1)}\sin\bigl((2k-1)x\bigr).

Passo 4

Ainda f(x)=25.
Cálculo de
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}25\,dx=50, \quad a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}25\cos(nx)\,dx =\frac{50}{\pi}\frac{\sin(n\pi)}{n}=0.
Então a série de cossenos é
25\sim\frac{50}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}0\cdot\cos(nx) =25.

Passo 5

Função f(x)=\sin x.
Cálculo de
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\sin(nx)\,dx =\begin{cases} 1,&n=1,\\\\ 0,&n\neq1, \end{cases}
pela ortogonalidade.
Logo a série de senos é trivialmente
\sin x\sim\sin x.

Passo 6

Ainda f(x)=\sin x.
Cálculo de
a_0=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=\frac{4}{\pi}, \quad a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin x\cos(nx)\,dx=0\quad(\forall n\ge1).
Portanto a série de cossenos é
\sin x\sim\frac{2}{\pi}.

Passo 7

Função f(x)=x^2, série de cossenos (extensão par).
É conhecida a expansão em [0,\pi]:
x^2\sim\frac{\pi^2}{3} +4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx).

Passo 8

Ainda f(x)=x^2, série de senos (extensão ímpar).
Calcula-se
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\sin(nx)\,dx =2\pi\frac{(-1)^{\,n+1}}{n} +\frac{4}{\pi n^3}\bigl((-1)^n-1\bigr).
Logo
x^2\sim\sum_{n=1}^{\infty}\Biggl[ 2\pi\frac{(-1)^{\,n+1}}{n} +\frac{4}{\pi n^3}\bigl((-1)^n-1\bigr) \Biggr]\sin(nx).

Resposta

(a) Série de senos de 25:
25=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{100}{\pi(2k-1)}\sin\bigl((2k-1)x\bigr).
(a) Série de cossenos de 25:
25=25.
(b) Série de senos de \sin x:
\sin x=\sin x.
(b) Série de cossenos de \sin x:
\sin x=\frac{2}{\pi}.
(c) Série de cossenos de x^2:
x^2=\frac{\pi^2}{3} +4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx).
(c) Série de senos de x^2:
x^2 =\sum_{n=1}^{\infty}\Biggl[ 2\pi\frac{(-1)^{\,n+1}}{n} +\frac{4}{\pi n^3}\bigl((-1)^n-1\bigr) \Biggr]\sin(nx).

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