Determine um conjunto de solução linearmente independentes para as seguintes EDOs:
\left(D^{2}-2 D+10\right)^{3} \omega=0

Passo 1

O enunciado pede as soluções lineares independentes da EDO homogênea com coeficientes constantes
\bigl(D^{2}-2D+10\bigr)^{3}\omega=0.
O conteúdo aqui é o método do polinômio característico e a construção de soluções para raízes complexas repetidas.

Passo 2

Escrevemos o polinômio característico associado:
(r^{2}-2r+10)^{3}=0.
Daí surge a equação
r^{2}-2r+10=0,
cuja solução é
r=1\pm 3i.

Passo 3

Como cada uma das raízes 1\pm 3i tem multiplicidade 3, a teoria de equações lineares com raízes complexas repetidas afirma que funções da forma
x^{k}e^{\Re(r)x}\cos(\Im(r)x) \quad\text{e}\quad x^{k}e^{\Re(r)x}\sin(\Im(r)x)
para k=0,1,2 formam um conjunto fundamental de soluções.

Resposta

\Bigl\{ e^{x}\cos(3x),\; e^{x}\sin(3x),\; x\,e^{x}\cos(3x),\; x\,e^{x}\sin(3x),\; x^{2}e^{x}\cos(3x),\; x^{2}e^{x}\sin(3x) \Bigr\}.

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