Determine um conjunto de solução linearmente independentes para as seguintes EDOs:
\left(D^{2}-4 D+3\right) \omega=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um conjunto de soluções linearmente independentes da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
\bigl(D^{2}-4D+3\bigr)\,\omega=0.
Aqui D indica derivação em relação à variável independente (por exemplo t). Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo D por r:
r^{2}-4r+3=0.
Essa é uma equação algébrica quadrática cujas raízes irão determinar as soluções da EDO.

Passo 3

Resolvendo
r^{2}-4r+3=0
usamos fatoração ou fórmula de Bhaskara. Em fatoração temos
r^{2}-4r+3=(r-1)(r-3)=0,
logo as raízes são
r_{1}=1 \quad\text{e}\quad r_{2}=3.

Passo 4

Como as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas, cada uma gera uma solução fundamental do tipo exponencial. Assim, as soluções fundamentais são
e^{r_{1}t}=e^{t} \quad\text{e}\quad e^{r_{2}t}=e^{3t}.

Resposta

Um conjunto de soluções linearmente independentes é
\{\,e^{t},\,e^{3t}\}.

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