Determine um conjunto de solução linearmente independentes para as seguintes EDOs:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um conjunto de soluções linearmente independentes da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
Aqui
indica derivação em relação à variável independente (por exemplo
). Para resolver, vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Formamos a equação característica associada substituindo
por
:
Essa é uma equação algébrica quadrática cujas raízes irão determinar as soluções da EDO.
Passo 3
Resolvendo
usamos fatoração ou fórmula de Bhaskara. Em fatoração temos
logo as raízes são
Passo 4
Como as raízes
e
são reais e distintas, cada uma gera uma solução fundamental do tipo exponencial. Assim, as soluções fundamentais são
Resposta
Um conjunto de soluções linearmente independentes é