III. V é o espaço vetorial de todas as funções f: R R.
W=f in V ; f(7)=f(1).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V de todas as funções f:RtoR e o subconjunto
W = ,fin V mid f(7)=f(1)
O conteúdo aqui é verificar se W é um subespaço de V. Para isso, vamos checar que W contém a função zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a função zero 0colonRtoR, dada por 0(x)=0 para todo x, pertence a W pois
0(7)=0=0(1)
Logo, W não é vazio e contém o vetor zero de V.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob soma. Tomemos f,gin W. Então
f(7)=f(1) e g(7)=g(1)
Para a soma h = f+g, temos
h(7) = f(7)+g(7) = f(1)+g(1) = h(1),
logo f+gin W.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e fin W. Então
f(7)=f(1)
Define h = alpha f. Temos
h(7) = alpha,f(7) = alpha,f(1) = h(1),
portanto alpha fin W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero de V, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é de fato um subespaço de V.

Resposta

W é subespaço de V.

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