III.
é o espaço vetorial de todas as funções
.
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todas as funções
e o subconjunto
O conteúdo aqui é verificar se
é um subespaço de
. Para isso, vamos checar que
contém a função zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a função zero
, dada por
para todo
, pertence a
pois
Logo,
não é vazio e contém o vetor zero de
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob soma. Tomemos
. Então
Para a soma
, temos
logo
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
Define
. Temos
portanto
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero de
, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um subespaço de
.