Sabendo que o conjunto das soluções de um sistema de equações lineares homogêneas é um subespaço vetorial de
, verifique, em cada item a seguir, se
é subespaço vetorial de
.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
e
fazem de
um subespaço vetorial de
.
Para isso, devemos checar três condições:
Para isso, devemos checar três condições:
-
. - Se
então . - Se
e então .
Passo 2
Verificamos se o vetor nulo
pertence a
.
Substituindo em :
Substituindo em
logo
.
Passo 3
Fechamento sob adição.
Sejam e
em
. Então
Sejam
No vetor soma
temos
portanto
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar.
Seja e
, isto é,
. Então
e
Seja
logo
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.
Resposta
Sim,
é subespaço vetorial de
.