Sabendo que o conjunto das soluções de um sistema de equações lineares homogêneas é um subespaço vetorial de Mn times 1(R), verifique, em cada item a seguir, se W é subespaço vetorial de V.
V=R^3 e W=(x, y, z) in R^3 ; x-y+z=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V=R^3 e
W = (x,y,z)in R^3 mid x - y + z = 0
fazem de W um subespaço vetorial de V.
Para isso, devemos checar três condições:
  1. 0in W.
  2. Se u,vin W então u+vin W.
  3. Se alphainR e uin W então alphauin W.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo 0=(0,0,0) pertence a W.
Substituindo em x - y + z = 0:
0 - 0 + 0 = 0,
logo 0in W.

Passo 3

Fechamento sob adição.
Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) em W. Então
x1 - y1 + z1 = 0 e x2 - y2 + z2 = 0
No vetor soma u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) temos
(x1+x2)-(y1+y2)+(z1+z2) =(x1 - y1 + z1)+(x2 - y2 + z2) =0+0=0,
portanto u+vin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar.
Seja alphainR e u=(x,y,z)in W, isto é, x-y+z=0. Então
alphau=(alpha x,alpha y,alpha z) e
alpha x - alpha y + alpha z =alpha,(x - y + z) =alphacdot 0 =0,
logo alphauin W.

Passo 5

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de V.

Resposta

Sim, W é subespaço vetorial de V.

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