Utilize a integral tripla para determinar o volume da região
limitada por
e
no primeiro octante.
limitada por
Passo 1
Enunciado e dados relevantes: a região pedida é a que fica no primeiro octante (ou seja,
,
,
) e é limitada pelas superfícies
e
Observação importante (incerteza): com o sinal negativo na segunda superfície a equação
é sempre
e a primeira superfície é sempre
; elas só se interceptam no ponto
. Assim, essas duas superfícies isoladamente não geram uma região fechada e de volume finito no primeiro octante. Para que haja uma região limitada e interessante (problema típico de prova), é muito provável que haja um erro de sinal no enunciado e a superfície correta pretendida seja
ou seja, o paraboloide aberto para cima. Vou seguir essa interpretação (ou seja, usarei
) porque ela produz uma região limitada e é o caso clássico: região entre o cone
e o paraboloide
no primeiro octante. Se você tiver certeza de que o enunciado original tem outro sentido, me avise depois; por agora prosseguimos com essa hipótese.
Passo 2
Escolha de coordenadas e descrição da região em termos delas.
É conveniente usar coordenadas cilíndricas no plano
(isto é, coordenadas polares para as variáveis
e
), porque ambas as superfícies dependem de
. Definimos
com
e
. No primeiro octante temos
, logo
A coordenada
permanece a mesma (e é o eixo vertical aqui). Em coordenadas
as superfícies ficam mais simples:
Explicação do elemento de volume: em coordenadas cilíndricas com
o elemento de volume é
Isso vem do jacobiano da transformação
, que é
. Em palavras: quando mudamos para polos, cada pequeno retângulo em
corresponde a uma área
.
Passo 3
Determinar a curva de interseção das duas superfícies e os limites de
.
Interseção das superfícies dada por igualar
:
Dividindo por
(válido para todas as r) obtemos
ou seja
A interseção não-nula é o círculo de raio
no plano
. Portanto, na região limitada temos
. Como estamos no primeiro octante,
.
Para cada fixo
entre
e
, o
varia entre o paraboloide (menor) e o cone (maior), ou seja
Passo 4
Montar a integral tripla que dá o volume.
Volume
é a integral tripla da função
sobre a região. Em coordenadas
:
Aqui repetindo: o
extra vem do jacobiano, os limites de
são
(paraboloide) até
(cone),
vai de
a
e
vai de
a
.
Passo 5
Calcular a integral interna em
.
A integral em
é simples porque integrando
em relação a
apenas multiplica pelo comprimento do intervalo em
:
Expliquei: integramos uma constante
em
, o resultado é
avaliado entre as extremidades.
Passo 6
Integrar em
.
Agora integramos a função obtida em
de
a
:
Calcule cada integral básica:
Substituindo:
Passo 7
Integrar em
e obter o volume final.
A integral em
é agora apenas multiplicar pelo comprimento do intervalo
: