Utilize a integral tripla para determinar o volume da região
limitada por y=\sqrt{9 x^{2}+9 z^{2}} e y=-3 x^{2}-3 z^{2} no primeiro octante.

Passo 1

Enunciado e dados relevantes: a região pedida é a que fica no primeiro octante (ou seja, x\ge0, y\ge0, z\ge0) e é limitada pelas superfícies
y=\sqrt{9x^{2}+9z^{2}}
e
y=-3x^{2}-3z^{2}.
Observação importante (incerteza): com o sinal negativo na segunda superfície a equação y=-3x^{2}-3z^{2} é sempre \le0 e a primeira superfície é sempre \ge0; elas só se interceptam no ponto (0,0,0). Assim, essas duas superfícies isoladamente não geram uma região fechada e de volume finito no primeiro octante. Para que haja uma região limitada e interessante (problema típico de prova), é muito provável que haja um erro de sinal no enunciado e a superfície correta pretendida seja
y=3x^{2}+3z^{2},
ou seja, o paraboloide aberto para cima. Vou seguir essa interpretação (ou seja, usarei y=3x^{2}+3z^{2}) porque ela produz uma região limitada e é o caso clássico: região entre o cone y=3\sqrt{x^{2}+z^{2}} e o paraboloide y=3(x^{2}+z^{2}) no primeiro octante. Se você tiver certeza de que o enunciado original tem outro sentido, me avise depois; por agora prosseguimos com essa hipótese.

Passo 2

Escolha de coordenadas e descrição da região em termos delas.
É conveniente usar coordenadas cilíndricas no plano x\!-\!z (isto é, coordenadas polares para as variáveis x e z), porque ambas as superfícies dependem de x^{2}+z^{2}. Definimos
r=\sqrt{x^{2}+z^{2}},\qquad \theta=\arctan\!\left(\frac{z}{x}\right),
com x=r\cos\theta e z=r\sin\theta. No primeiro octante temos x\ge0,\\ z\ge0, logo
\theta\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].
A coordenada y permanece a mesma (e é o eixo vertical aqui). Em coordenadas r,\theta,y as superfícies ficam mais simples:
\text{cone: }\; y= \sqrt{9x^{2}+9z^{2}} = 3r,
\text{paraboloide: }\; y=3x^{2}+3z^{2}=3r^{2}.
Explicação do elemento de volume: em coordenadas cilíndricas com r,\theta,y o elemento de volume é
dV = r\,dr\,d\theta\,dy.
Isso vem do jacobiano da transformação (x,z)\mapsto(r,\theta), que é r. Em palavras: quando mudamos para polos, cada pequeno retângulo em (r,\theta) corresponde a uma área r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Determinar a curva de interseção das duas superfícies e os limites de r.
Interseção das superfícies dada por igualar y:
3r = 3r^{2}.
Dividindo por 3 (válido para todas as r) obtemos
r = r^{2},
ou seja
r(r-1)=0 \implies r=0\\ \text{ou}\\ r=1.
A interseção não-nula é o círculo de raio r=1 no plano x\!-\!z. Portanto, na região limitada temos 0\le r\le 1. Como estamos no primeiro octante, \theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].
Para cada fixo r entre 0 e 1, o y varia entre o paraboloide (menor) e o cone (maior), ou seja
3r^{2}\le y\le 3r.

Passo 4

Montar a integral tripla que dá o volume.
Volume V é a integral tripla da função 1 sobre a região. Em coordenadas (r,\theta,y):
V=\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1}\int_{y=3r^{2}}^{3r} r\,dy\,dr\,d\theta.
Aqui repetindo: o r extra vem do jacobiano, os limites de y são 3r^{2} (paraboloide) até 3r (cone), r vai de 0 a 1 e \theta vai de 0 a \tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Calcular a integral interna em y.
A integral em y é simples porque integrando r em relação a y apenas multiplica pelo comprimento do intervalo em y:
\int_{y=3r^{2}}^{3r} r\,dy = r\bigl(3r - 3r^{2}\bigr) = 3r^{2}-3r^{3}.
Expliquei: integramos uma constante r em y, o resultado é r\cdot(y) avaliado entre as extremidades.

Passo 6

Integrar em r.
Agora integramos a função obtida em r de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \bigl(3r^{2}-3r^{3}\bigr)\,dr = 3\int_{0}^{1} r^{2}\,dr - 3\int_{0}^{1} r^{3}\,dr.
Calcule cada integral básica:
\int_{0}^{1} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}, \qquad \int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
Substituindo:
3\cdot\frac{1}{3} - 3\cdot\frac{1}{4} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}.

Passo 7

Integrar em \theta e obter o volume final.
A integral em \theta é agora apenas multiplicar pelo comprimento do intervalo \left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]:
V = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{4}\,d\theta = \frac{1}{4}\left[\theta\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{8}

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