, onde
é a região contida dentro do cilindro
e entre os planos
e
. Resp.:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é a região limitada pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Informações dadas e o que precisamos:
- O cilindro
indica que, na projeção no plano , temos um disco de raio (ou seja, ). - Os planos horizontais dão os limites em
: . - A integranda é
. - Precisamos avaliar a integral tripla sobre todo o volume
.
Passo 2
Por que usar coordenadas cilíndricas e como elas funcionam (mini-aula prática)?
- Coordenadas cilíndricas são naturais quando a região tem simetria radial ao redor do eixo
(aqui temos um cilindro). As coordenadas são: onde é a distância ao eixo , é o ângulo polar e é a altura. - O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
Explicação intuitiva: um pequeno bloco em cilíndricas tem base aproximada de área (pois o arco tem comprimento ) e altura . O fator é o jacobiano da mudança de variáveis. - Exemplo simples: área do disco de raio
em cilíndricas é .
Passo 3
Escrever a integranda na nova coordenada e montar a integral iterada.
- Note que
. Então a função a integrar vira . - Multiplicando pelo elemento de volume
, a integranda completa fica . - Os limites são:
de a , de a (pois o cilindro tem raio ), e de a . Portanto a integral vira
Passo 4
Integrar em
(passo mais simples primeiro).
- Como a integranda
não depende de , temos Então a integral reduz-se a
Passo 5
Integrar em
.
- Calcule a primitiva de
: . - Aplicando os limites:
Assim a integral torna-se
Passo 6
Integrar em
e concluir.
- A integral de uma constante em
é a constante vezes o comprimento do intervalo: - Portanto o valor da integral tripla é
.