\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V, onde E é a região contida dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=16 e entre os planos z=-5 e z=4. Resp.: 384 \pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dV,
onde E é a região limitada pelo cilindro x^{2}+y^{2}=16 e pelos planos z=-5 e z=4.
Informações dadas e o que precisamos:
  • O cilindro x^{2}+y^{2}=16 indica que, na projeção no plano xy, temos um disco de raio 4 (ou seja, 0\le r\le 4).
  • Os planos horizontais dão os limites em z: -5\le z\le 4.
  • A integranda é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Precisamos avaliar a integral tripla sobre todo o volume E.

Passo 2

Por que usar coordenadas cilíndricas e como elas funcionam (mini-aula prática)?
  • Coordenadas cilíndricas são naturais quando a região tem simetria radial ao redor do eixo z (aqui temos um cilindro). As coordenadas são: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,onde r\ge 0 é a distância ao eixo z, \theta é o ângulo polar e z é a altura.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r\,dr\,d\theta\,dz.Explicação intuitiva: um pequeno bloco em cilíndricas tem base aproximada de área r\,dr\,d\theta (pois o arco tem comprimento r\,d\theta) e altura dz. O fator r é o jacobiano da mudança de variáveis.
  • Exemplo simples: área do disco de raio a em cilíndricas é \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot a^{2}/2=\pi a^{2}.

Passo 3

Escrever a integranda na nova coordenada e montar a integral iterada.
  • Note que \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r. Então a função a integrar vira r.
  • Multiplicando pelo elemento de volume dV=r\,dr\,d\theta\,dz, a integranda completa fica r\cdot r = r^{2}.
  • Os limites são: \theta de 0 a 2\pi, r de 0 a 4 (pois o cilindro tem raio 4), e z de -5 a 4. Portanto a integral vira \iiint_{E} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dV =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}\int_{-5}^{4} r^{2}\;dz\;dr\;d\theta.

Passo 4

Integrar em z (passo mais simples primeiro).
  • Como a integranda r^{2} não depende de z, temos \int_{-5}^{4} r^{2}\;dz = r^{2}\big[z\big]_{z=-5}^{z=4} = r^{2}(4-(-5)) = r^{2}\cdot 9.Então a integral reduz-se a \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4} 9\,r^{2}\;dr\;d\theta.

Passo 5

Integrar em r.
  • Calcule a primitiva de r^{2}: \displaystyle \int r^{2}\,dr = \frac{r^{3}}{3}.
  • Aplicando os limites: \int_{0}^{4} 9\,r^{2}\;dr = 9\cdot\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{4} =9\cdot\frac{4^{3}}{3} =9\cdot\frac{64}{3} =3\cdot 64 =192.Assim a integral torna-se \int_{0}^{2\pi} 192\;d\theta.

Passo 6

Integrar em \theta e concluir.
  • A integral de uma constante em \theta é a constante vezes o comprimento do intervalo: \int_{0}^{2\pi} 192\;d\theta = 192\cdot(2\pi) = 384\pi.
  • Portanto o valor da integral tripla é 384\pi.

Resposta

\,384\pi

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