IIIQ- Nos Problemas 1 a 10, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - 2y’ - 3y = -3t $. Isso fala sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo do lado direito) e uma solução particular que resolve a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: $ y’’ - 2y’ - 3y = 0 $. Para isso, usamos a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
Então, a solução geral da parte homogênea é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos achar uma solução particular ($ y_p
-3t $), vamos tentar uma solução particular da forma:
Derivando, temos:
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
Simplificando:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
Finalmente, juntamos a solução da parte homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.