IIIQ- Nos Problemas 1 a 10, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^prime prime-2 y^prime-3 y=-3 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - 2y’ - 3y = -3t $. Isso fala sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo do lado direito) e uma solução particular que resolve a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: $ y’’ - 2y’ - 3y = 0 $. Para isso, usamos a equação característica associada:
y'' - 2y' - 3y = 0
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes:
r^2 - 2r - 3 = 0
Então, a solução geral da parte homogênea é:
r = 3 e r = -1
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos achar uma solução particular ($ y_p yp çãéçã -3t $), vamos tentar uma solução particular da forma:
-3t
Derivando, temos:
yp = At + B
Substituindo $ y_p $, $ y_p’ $ e $ y_p’’ $ na equação original:
yp' = A e yp'' = 0
Simplificando:
yp
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
yp'
yp''
Portanto, a solução particular é:
0 - 2A - 3(At + B) = -3t

Passo 4

Finalmente, juntamos a solução da parte homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
y(t) = yh + yp = C1 e^3t + C2 e^-t + t - 23

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^3t + C2 e^-t + t - 23
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados