IVQ-Nos Problemas 11 a 15, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime-2 y^prime+y=4, y(0)=1, y^prime(0)=1

Passo 1

Temos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante constante: y'' - 2y' + y = 4, sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. Para resolver, vamos precisar achar primeiro a solução geral da parte homogênea usando o polinômio característico e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea y'' - 2y' + y = 0: montamos o polinômio característico r^2 - 2r + 1 = 0, que tem raiz dupla r=1. Então a solução homogênea é yh = C1 e^x + C2 x e^x.

Passo 3

Buscando uma solução particular para o forçamento constante igual a 4, fazemos o palpite yp = A. Substituindo em y'' - 2y' + y = 4 0 - 0 + A = 4, ou seja A = 4. Logo yp = 4.

Passo 4

A solução geral da equação é a soma de homogênea e particular: y = C1 e^x + C2 x e^x + 4.

Passo 5

Aplicando as condições iniciais: de y(0)=1 vem C1 + 4 = 1, então C1 = -3. Para y'(x) = C1 e^x + C2 e^x + C2 x e^x, avaliando em zero temos y'(0)=C1 + C2 = 1. Substituindo C1=-3 obtém-se C2 = 4.

Resposta

y(x) = -3e^x + 4xe^x + 4

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