Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que você me mandou. A equação que temos é uma equação diferencial de primeira ordem:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar aplicar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações diferenciais exatas e como encontrar soluções usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a identificação dos termos
e
:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Rearranjando os termos, a equação fica:
Aqui, identificamos os termos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a condição de exatidão está satisfeita, o que significa que podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Passo 4
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Explicando,
é uma função de
que surge da integral e será determinada posteriormente.
Calculando a integral:
Então, temos:
Passo 5
Agora, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Comparando os dois lados:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
de volta na expressão de
:
Podemos rearranjar para obter a solução implícita:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
:
Substituindo
e
na equação:
Calculando:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é dada implicitamente por: