Resolva o problema de valor inicial
c y^prime=(x+y)^21-x^2-2 x y y(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que você me mandou. A equação que temos é uma equação diferencial de primeira ordem:
c y^prime=(x+y)^21-x^2-2 x y y(1)=1
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial exata. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar aplicar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações diferenciais exatas e como encontrar soluções usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a identificação dos termos dydx = (x + y)^21 - x^2 - 2xy e (1 - x^2 - 2xy) , dy = (x + y)^2 , dx :
(1 - x^2 - 2xy) , dy - (x + y)^2 , dx = 0
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Rearranjando os termos, a equação fica:
Aqui, identificamos os termos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de My = partialpartial y [ - (x + y)^2 ] = -2(x + y) em relação a Nx = partialpartial x [ 1 - x^2 - 2xy ] = -2x - 2y e de partial Fpartial x = M e partial Fpartial y = N em relação a :
Como , a condição de exatidão está satisfeita, o que significa que podemos encontrar uma função potencial tal que:

Passo 4

Vamos encontrar F(x, y) = integral M , dx + h(y) = integral - (x + y)^2 , dx + h(y) integrando integral - (x + y)^2 , dx = - integral (x^2 + 2xy + y^2) , dx = -( x^33 + x^2 y + x y^2 ) + h(y) em relação a F(x, y) = -x^33 - x^2 y - x y^2 + h(y) :
Explicando, é uma função de que surge da integral e será determinada posteriormente.
Calculando a integral:
Então, temos:

Passo 5

Agora, diferenciamos partial Fpartial y = -x^2 - 2xy + h'(y) = N = 1 - x^2 - 2xy em relação a - x^2 - 2xy + h'(y) = 1 - x^2 - 2xy e igualamos a h'(y) = 1 para encontrar h(y) = y + C :
Comparando os dois lados:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo F(x, y) = -x^33 - x^2 y - x y^2 + y = C de volta na expressão de x^33 + x^2 y + x y^2 - y = C :
Podemos rearranjar para obter a solução implícita:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial 1^33 + 1^2 cdot 1 + 1 cdot 1^2 - 1 = C para encontrar o valor da constante 13 + 1 + 1 - 1 = C 13 + 1 = C 43 = C :
Substituindo e na equação:
Calculando:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é dada implicitamente por:
x^33 + x^2 y + x y^2 - y = 43

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