IVQ-Nos Problemas 11 a 15, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime+4 y=t^2, y(0)=0, y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem não homogênea
y'' + 4y = t^2, y(0)=0, y'(0)=2,
ou seja, conteúdo de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar solução geral = parte homogênea + particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos a equação
r^2 + 4 = 0
cuja raiz é r = ±2i. Logo, a solução homogênea é
yh(t) = C1,cos(2t) + C2,sin(2t)

Passo 3

Para a particular, fazemos o chute polinomial
yp(t) = At^2 + Bt + C,
logo
yp''(t) = 2A
Substituindo em y’’ + 4y = t^2:
2A + 4(At^2 + Bt + C) = t^2
Igualando coeficientes:
4A = 1 Rightarrow A = tfrac14,
4B = 0 Rightarrow B = 0,
2A + 4C = 0 Rightarrow C = -tfrac18
Assim
yp(t) = tfrac14 t^2 - tfrac18

Passo 4

A solução geral é
y(t) = C1cos(2t) + C2sin(2t) + tfrac14 t^2 - tfrac18
Aplicamos as condições iniciais: em t=0,
y(0) = C1 - tfrac18 = 0 Rightarrow C1 = tfrac18,
e
y’(t) = -2C_1\sin(2t) + 2C_2\cos(2t) + \tfrac12 t,
então em t=0,
y'(0) = 2C2 = 2 Rightarrow C2 = 1

Resposta

y(t) = tfrac18,cos(2t) + sin(2t) + tfrac14,t^2 - tfrac18

Exercícios relacionados