IVQ-Nos Problemas 11 a 15, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem não homogênea
ou seja, conteúdo de equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar solução geral = parte homogênea + particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos a equação
cuja raiz é r = ±2i. Logo, a solução homogênea é
Passo 3
Para a particular, fazemos o chute polinomial
logo
Substituindo em y’’ + 4y = t^2:
Igualando coeficientes:
Assim
Passo 4
A solução geral é
Aplicamos as condições iniciais: em t=0,
e
y’(t) = -2C_1\sin(2t) + 2C_2\cos(2t) + \tfrac12 t,
então em t=0,
y’(t) = -2C_1\sin(2t) + 2C_2\cos(2t) + \tfrac12 t,
então em t=0,