Questão 5- (1,5) Usando a regra de L’ Hospital, calcular o limite da seguinte função:
y=(1-2 x)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=(1-2x)^{1/x}
e pede o valor do limite quando x tende a 0.
Informações relevantes: quando x\to0 temos que a base 1-2x\to1 e o expoente 1/x\to\pm\infty (dependendo da aproximação), portanto a expressão tem a forma indeterminada 1^\infty.

Passo 2

Truque padrão para indeterminações do tipo 1^\infty: tomar o logaritmo natural para transformar a potência em um produto, calcular o limite do logaritmo e depois exponenciar. Se definirmos y=(1-2x)^{1/x} e y>0 perto de 0, então
\ln y=\frac{\ln(1-2x)}{x}.
Se conseguirmos o limite
L=\lim_{x\to0}\ln y,
então o limite desejado será
\lim_{x\to0} y = e^{L},
porque a função exponencial é contínua. Essa transformação é válida e muito usada em provas porque transforma a potência difícil numa razão mais tratável.

Passo 3

Agora analisamos o limite
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1-2x)}{x}.
Observação do tipo de indeterminação: quando x\to0 temos \ln(1-2x)\to\ln 1=0 e o denominador x\to0. Então é uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver esse tipo podemos usar a Regra de L’Hospital (que diz: se numerador e denominador tendem a 0 ou ambos tendem a \pm\infty e são diferenciáveis numa vizinhança exceto possivelmente no ponto, então o limite da razão é o mesmo que o limite da razão das derivadas, quando este existir). As hipóteses aqui são satisfeitas porque \ln(1-2x) e x são diferenciáveis perto de 0.

Passo 4

Aplicamos a Regra de L’Hospital: derivamos numerador e denominador em relação a x. Para derivar \ln(1-2x) usamos a regra da cadeia: se u(x)=1-2x, então \dfrac{d}{dx}\ln(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Aqui u'(x)=-2 e u(x)=1-2x, logo
\frac{d}{dx}\ln(1-2x)=\frac{-2}{1-2x}.
A derivada do denominador x é 1. Portanto, pela Regra de L’Hospital,
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1-2x)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{-2}{1-2x}.
Esse limite é direto: ao substituir x=0 obtemos
\lim_{x\to0}\frac{-2}{1-2x}=\frac{-2}{1}= -2.

Passo 5

Concluímos que
\lim_{x\to0}\ln y = -2.
Como y>0 perto de 0, o limite original é
\lim_{x\to0} y = \lim_{x\to0} e^{\ln y} = e^{-2}.
Para ter uma intuição numérica, e^{-2}\approx0,1353. Você chegou lá! Foi só transformar a potência com log, aplicar L’Hospital e re-exponenciar — bom conjunto de passos pra prova.

Resposta

e^{-2}

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