Questão 5-
Usando a regra de L’ Hospital, calcular o limite da seguinte função:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o valor do limite quando
tende a
.
Informações relevantes: quando temos que a base
e o expoente
(dependendo da aproximação), portanto a expressão tem a forma indeterminada
.
Informações relevantes: quando
Passo 2
Truque padrão para indeterminações do tipo
: tomar o logaritmo natural para transformar a potência em um produto, calcular o limite do logaritmo e depois exponenciar. Se definirmos
e
perto de
, então
Se conseguirmos o limite
então o limite desejado será
porque a função exponencial é contínua. Essa transformação é válida e muito usada em provas porque transforma a potência difícil numa razão mais tratável.
Passo 3
Agora analisamos o limite
Observação do tipo de indeterminação: quando
temos
e o denominador
. Então é uma indeterminação do tipo
. Para resolver esse tipo podemos usar a Regra de L’Hospital (que diz: se numerador e denominador tendem a
ou ambos tendem a
e são diferenciáveis numa vizinhança exceto possivelmente no ponto, então o limite da razão é o mesmo que o limite da razão das derivadas, quando este existir). As hipóteses aqui são satisfeitas porque
e
são diferenciáveis perto de
.
Passo 4
Aplicamos a Regra de L’Hospital: derivamos numerador e denominador em relação a
. Para derivar
usamos a regra da cadeia: se
, então
. Aqui
e
, logo
A derivada do denominador
é
. Portanto, pela Regra de L’Hospital,
Esse limite é direto: ao substituir
obtemos
Passo 5
Concluímos que
Como
perto de
, o limite original é
Para ter uma intuição numérica,
. Você chegou lá! Foi só transformar a potência com log, aplicar L’Hospital e re-exponenciar — bom conjunto de passos pra prova.