Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos d sela, se houver.
f(x, y)=x y+\frac{a^{3}}{x}+\frac{b^{3}}{y} \quad(a \neq 0, b \neq 0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x y+\frac{a^{3}}{x}+\frac{b^{3}}{y},
com a\neq0 e b\neq0, e pede para localizar todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela (se houver). Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função está definida somente quando x\neq0 e y\neq0 (porque aparecem \dfrac{1}{x} e \dfrac{1}{y}).
  • Precisamos encontrar todos os pontos críticos (pontos onde o gradiente é nulo ou não existe) e classificá‑los como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
    Nada mais será resolvido aqui; só foi listado o que se pede e os dados disponíveis.

Passo 2

Encontrar as derivadas parciais primeiras e escrever as equações do gradiente nulo. Lembrete rápido (conceito): um ponto crítico interior ao domínio satisfaz \nabla f=(f_x,f_y)=(0,0). Vamos calcular f_x e f_y.
Calculemos f_x (derivada de f em relação a x, tratando y como constante):
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(xy+\frac{a^{3}}{x}+\frac{b^{3}}{y}\right)=y - a^{3}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\left(x^{-1}\right)+0
A derivada de x^{-1} é -x^{-2}, então
f_x = y - a^{3}\cdot(-x^{-2}) = y -\left(-\frac{a^{3}}{x^{2}}\right)=y-\frac{a^{3}}{x^{2}}.
Agora f_y (derivada em relação a y):
f_y=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(xy+\frac{a^{3}}{x}+\frac{b^{3}}{y}\right)=x - b^{3}\cdot\frac{\partial}{\partial y}\!\left(y^{-1}\right)=x-\frac{b^{3}}{y^{2}}.
Portanto as equações do gradiente nulo são
\begin{cases} y-\dfrac{a^{3}}{x^{2}}=0,\\[6pt] x-\dfrac{b^{3}}{y^{2}}=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema das duas equações acima. A primeira dá explicitamente
y=\frac{a^{3}}{x^{2}}.
Substituir essa expressão na segunda equação:
x-\frac{b^{3}}{y^{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{b^{3}}{y^{2}}.
Substituindo y=\dfrac{a^{3}}{x^{2}} em \dfrac{b^{3}}{y^{2}}:
x=\frac{b^{3}}{\left(\dfrac{a^{3}}{x^{2}}\right)^{2}} = \frac{b^{3}}{\dfrac{a^{6}}{x^{4}}} = b^{3}\cdot\frac{x^{4}}{a^{6}}.
Como x\neq0 (domínio), dividimos por x:
1=\frac{b^{3}x^{3}}{a^{6}}\quad\Rightarrow\quad x^{3}=\frac{a^{6}}{b^{3}}.
Extraindo a raiz cúbica (observe que a^{6} e b^{3} são bem definidos e b\neq0):
x=\left(\frac{a^{6}}{b^{3}}\right)^{1/3}=\frac{a^{2}}{b}.
Agora voltamos na expressão de y:
y=\frac{a^{3}}{x^{2}}=\frac{a^{3}}{\left(\dfrac{a^{2}}{b}\right)^{2}} = \frac{a^{3}}{\dfrac{a^{4}}{b^{2}}} = \frac{b^{2}}{a}.
Portanto há um único ponto crítico no domínio:
\left(x_{0},y_{0}\right)=\left(\frac{a^{2}}{b},\frac{b^{2}}{a}\right).
(Relembre: esse ponto está no domínio porque a\neq0 e b\neq0.)

Passo 4

Para classificar o ponto crítico usamos derivadas segundas e o determinante da Hessiana. Primeiro calculemos as segundas derivadas parciais:
  • Derivando f_x=y-\dfrac{a^{3}}{x^{2}} em relação a x:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(y-\frac{a^{3}}{x^{2}}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(-a^{3}x^{-2}\right)=2a^{3}x^{-3}.
Explicação do passo: a derivada de x^{-2} é -2x^{-3}, multiplicando por -a^{3} 2a^{3}x^{-3}.
  • Derivando f_y=x-\dfrac{b^{3}}{y^{2}} em relação a y:
f_{yy}=2b^{3}y^{-3}.
  • As derivadas mistas:
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(y-\frac{a^{3}}{x^{2}}\right)=1,\qquad f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(x-\frac{b^{3}}{y^{2}}\right)=1.
Então a matriz Hessiana é
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a^{3}x^{-3} & 1\\[6pt] 1 & 2b^{3}y^{-3} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Avaliar a Hessiana no ponto crítico \left(\dfrac{a^{2}}{b},\dfrac{b^{2}}{a}\right) e aplicar o teste das derivadas segundas (em duas variáveis): para um ponto crítico interior, calcule D=f_{xx}f_{yy}- (f_{xy})^{2} no ponto; se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo; se D>0 e f_{xx}<0 então máximo; se D<0 então sela.
Primeiro calculemos x_{0}^{3} e y_{0}^{3}:
x_{0}^{3}=\left(\frac{a^{2}}{b}\right)^{3}=\frac{a^{6}}{b^{3}},\qquad y_{0}^{3}=\left(\frac{b^{2}}{a}\right)^{3}=\frac{b^{6}}{a^{3}}.
Multiplicando:
x_{0}^{3}y_{0}^{3}=\frac{a^{6}}{b^{3}}\cdot\frac{b^{6}}{a^{3}}=a^{3}b^{3}.
Agora f_{xx} e f_{yy} no ponto:
f_{xx}(x_{0},y_{0})=2a^{3}x_{0}^{-3}=2a^{3}\cdot\frac{1}{x_{0}^{3}} =2a^{3}\cdot\frac{1}{\dfrac{a^{6}}{b^{3}}}=2\frac{b^{3}}{a^{3}}=2\left(\frac{b}{a}\right)^{3}.
f_{yy}(x_{0},y_{0})=2b^{3}y_{0}^{-3}=2b^{3}\cdot\frac{1}{y_{0}^{3}} =2b^{3}\cdot\frac{1}{\dfrac{b^{6}}{a^{3}}}=2\frac{a^{3}}{b^{3}}=2\left(\frac{a}{b}\right)^{3}.
O determinante D no ponto é
D=f_{xx}f_{yy}- (f_{xy})^{2} = \Big(2\frac{b^{3}}{a^{3}}\Big)\Big(2\frac{a^{3}}{b^{3}}\Big)-1 =4-1=3.
Portanto D=3>0. Conclusão parcial: o ponto crítico não é ponto de sela (porque D>0); é um extremo relativo e o tipo (mínimo ou máximo) depende do sinal de f_{xx}(x_{0},y_{0}).

Passo 6

Interpretar o sinal de f_{xx}(x_{0},y_{0}). Encontramos
f_{xx}(x_{0},y_{0})=2\left(\frac{b}{a}\right)^{3}.
  • Se \dfrac{b}{a}>0 (ou seja, se ab>0) então \left(\dfrac{b}{a}\right)^{3}>0 e portanto f_{xx}(x_{0},y_{0})>0. Como D>0 e f_{xx}>0, o ponto é um mínimo relativo estrito.
  • Se \dfrac{b}{a}<0 (ou seja, se ab<0) então \left(\dfrac{b}{a}\right)^{3}<0 e portanto f_{xx}(x_{0},y_{0})<0. Como D>0 e f_{xx}<0, o ponto é um máximo relativo estrito.
    (A condição ab=0 não ocorre porque a\neq0 e b\neq0.)
Como verificação útil, podemos também calcular o valor de f no ponto crítico:
f\!\left(\frac{a^{2}}{b},\frac{b^{2}}{a}\right) = \left(\frac{a^{2}}{b}\right)\left(\frac{b^{2}}{a}\right) + \frac{a^{3}}{\dfrac{a^{2}}{b}} + \frac{b^{3}}{\dfrac{b^{2}}{a}} = ab + ab + ab = 3ab.
Então o valor do extremum é 3ab.

Passo 7

Conclusão final e observações de exame (como fazer rápido na prova):
  • Calcule as parciais f_x,f_y, resolva o sistema \nabla f=0.
  • Calcule as segundas derivadas e o determinante D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 no ponto crítico.
  • Se D>0 verifique o sinal de f_{xx} para decidir mínimo (positivo) ou máximo (negativo); se D<0 é sela.
    Aqui, seguindo esses passos, há exatamente um ponto crítico e já classificado.

Resposta

\displaystyle (x,y)=\Big(\frac{a^{2}}{b},\frac{b^{2}}{a}\Big)\newline
Se ab>0: ponto de mínimo relativo (estrito) e f=3ab\newline
Se ab<0: ponto de máximo relativo (estrito) e f=3ab\newline
Não há pontos de sela.

Exercícios relacionados