Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos d sela, se houver. f(x, y)=x y+\frac{a^{3}}{x}+\frac{b^{3}}{y} \quad(a \neq 0, b \neq 0)
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y)=x y+\frac{a^{3}}{x}+\frac{b^{3}}{y},
com a\neq0 e b\neq0, e pede para localizar todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela (se houver). Informações relevantes que temos do enunciado:
A função está definida somente quando x\neq0 e y\neq0 (porque aparecem \dfrac{1}{x} e \dfrac{1}{y}).
Precisamos encontrar todos os pontos críticos (pontos onde o gradiente é nulo ou não existe) e classificá‑los como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto de sela.
Nada mais será resolvido aqui; só foi listado o que se pede e os dados disponíveis.
Passo 2
Encontrar as derivadas parciais primeiras e escrever as equações do gradiente nulo. Lembrete rápido (conceito): um ponto crítico interior ao domínio satisfaz \nabla f=(f_x,f_y)=(0,0). Vamos calcular f_x e f_y.
Calculemos f_x (derivada de f em relação a x, tratando y como constante):
Avaliar a Hessiana no ponto crítico \left(\dfrac{a^{2}}{b},\dfrac{b^{2}}{a}\right) e aplicar o teste das derivadas segundas (em duas variáveis): para um ponto crítico interior, calcule D=f_{xx}f_{yy}- (f_{xy})^{2} no ponto; se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo; se D>0 e f_{xx}<0 então máximo; se D<0 então sela.
Portanto D=3>0. Conclusão parcial: o ponto crítico não é ponto de sela (porque D>0); é um extremo relativo e o tipo (mínimo ou máximo) depende do sinal de f_{xx}(x_{0},y_{0}).
Passo 6
Interpretar o sinal de f_{xx}(x_{0},y_{0}). Encontramos
Se \dfrac{b}{a}>0 (ou seja, se ab>0) então \left(\dfrac{b}{a}\right)^{3}>0 e portanto f_{xx}(x_{0},y_{0})>0. Como D>0 e f_{xx}>0, o ponto é um mínimo relativo estrito.
Se \dfrac{b}{a}<0 (ou seja, se ab<0) então \left(\dfrac{b}{a}\right)^{3}<0 e portanto f_{xx}(x_{0},y_{0})<0. Como D>0 e f_{xx}<0, o ponto é um máximo relativo estrito.
(A condição ab=0 não ocorre porque a\neq0 e b\neq0.)
Como verificação útil, podemos também calcular o valor de f no ponto crítico:
f\!\left(\frac{a^{2}}{b},\frac{b^{2}}{a}\right) = \left(\frac{a^{2}}{b}\right)\left(\frac{b^{2}}{a}\right) + \frac{a^{3}}{\dfrac{a^{2}}{b}} + \frac{b^{3}}{\dfrac{b^{2}}{a}} = ab + ab + ab = 3ab.
Então o valor do extremum é 3ab.
Passo 7
Conclusão final e observações de exame (como fazer rápido na prova):
Calcule as parciais f_x,f_y, resolva o sistema \nabla f=0.
Calcule as segundas derivadas e o determinante D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 no ponto crítico.
Se D>0 verifique o sinal de f_{xx} para decidir mínimo (positivo) ou máximo (negativo); se D<0 é sela.
Aqui, seguindo esses passos, há exatamente um ponto crítico e já classificado.
Resposta
\displaystyle (x,y)=\Big(\frac{a^{2}}{b},\frac{b^{2}}{a}\Big)\newline
Se ab>0: ponto de mínimo relativo (estrito) e f=3ab\newline
Se ab<0: ponto de máximo relativo (estrito) e f=3ab\newline
Não há pontos de sela.