Um fluido escoa em movimento uniforme com velocidade
dada. Verificar se
representa um possível fluxo incompressível.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo de velocidades
representa um possível fluxo incompressível. As informações dadas são:
Pergunta explícita: “Verificar se
representa um possível fluxo incompressível” — isto é, determinar se o campo satisfaz a condição de incompressibilidade em toda a região (ou onde for o caso). Também extraí do enunciado as componentes do campo, que usarei na resolução.
Passo 2
O que significa “fluxo incompressível”? Vou explicar devagar e de forma concreta. Em mecânica dos fluidos existe a equação da continuidade:
onde
é a densidade do fluido (massa por volume),
é o tempo e
é o campo de velocidade. Cada termo significa:
-
: variação local da densidade com o tempo; -
: divergência do fluxo de massa, mede se há saída/entrada de massa por unidade de volume.
Se o fluido for incompressível no sentido usual de densidade constante (ou seja,
constante no espaço e tempo), então
e
sai da divergência, ficando:
Então, para um fluido de densidade constante, a condição equivalente e prática que usamos é: o campo de velocidades deve ter divergência nula em cada ponto.
Passo 3
Vou escrever a definição da divergência em coordenadas cartesianas e explicar os termos. Para um campo
em coordenadas cartesianas, a divergência é
Aqui cada derivada parcial
significa derivar a componente
em relação à variável
, tratando as outras variáveis como constantes. Na prática, para verificar incompressibilidade calculamos essas três derivadas e somamos.
Passo 4
Identifico as componentes do campo
fornecido:
Anote mentalmente:
depende de
apenas,
e
dependem de
apenas.
Passo 5
Calculo as derivadas parciais uma a uma, mostrando o raciocínio:
- Para
: ao derivar em relação a , é tratado como constante, e não depende de . Logo
- Para
: aqui usamos a regra básica da derivada de potência, . Assim
- Para
: não depende de , então tratando como constante,
Passo 6
Agora somo as parcelas para obter a divergência:
Interpretação física/geométrica: a divergência mede a taxa de expansão local do volume de fluido. Se
há uma “fonte” local (expansão); se
há um “sorvedouro” local (compressão); se
não há variação volumétrica local — condição de incompressibilidade (para densidade constante).
Passo 7
Conclusão direta com base no cálculo:
. Isso é diferente de zero em geral — depende de
. O campo é divergente nulo somente na superfície
. Portanto, como condição global para um fluxo incompressível (densidade constante) a resposta é negativa: o campo não representa, em geral, um fluxo incompressível.
Resposta
Não,
, logo
não é incompressível (exceto na linha/plano onde
).