Um fluido escoa em movimento uniforme com velocidade \vec{v} dada. Verificar se \vec{v} representa um possível fluxo incompressível.
\vec{v}=z^{2} \vec{i}+y^{2} \vec{j}+y^{2} \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo de velocidades \vec{v} representa um possível fluxo incompressível. As informações dadas são:
\vec{v}=z^{2}\,\vec{i}+y^{2}\,\vec{j}+y^{2}\,\vec{k}.
Pergunta explícita: “Verificar se \vec{v} representa um possível fluxo incompressível” — isto é, determinar se o campo satisfaz a condição de incompressibilidade em toda a região (ou onde for o caso). Também extraí do enunciado as componentes do campo, que usarei na resolução.

Passo 2

O que significa “fluxo incompressível”? Vou explicar devagar e de forma concreta. Em mecânica dos fluidos existe a equação da continuidade:
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\vec{v})=0,
onde \rho é a densidade do fluido (massa por volume), t é o tempo e \vec{v} é o campo de velocidade. Cada termo significa:
  • \frac{\partial \rho}{\partial t}: variação local da densidade com o tempo;
  • \nabla\cdot(\rho\vec{v}): divergência do fluxo de massa, mede se há saída/entrada de massa por unidade de volume.
Se o fluido for incompressível no sentido usual de densidade constante (ou seja, \rho constante no espaço e tempo), então \frac{\partial \rho}{\partial t}=0 e \rho sai da divergência, ficando:
\nabla\cdot\vec{v}=0.
Então, para um fluido de densidade constante, a condição equivalente e prática que usamos é: o campo de velocidades deve ter divergência nula em cada ponto.

Passo 3

Vou escrever a definição da divergência em coordenadas cartesianas e explicar os termos. Para um campo \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) em coordenadas cartesianas, a divergência é
\nabla\cdot\vec{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}.
Aqui cada derivada parcial \frac{\partial v_i}{\partial x_j} significa derivar a componente v_i em relação à variável x_j, tratando as outras variáveis como constantes. Na prática, para verificar incompressibilidade calculamos essas três derivadas e somamos.

Passo 4

Identifico as componentes do campo \vec{v} fornecido:
v_x=z^{2},\qquad v_y=y^{2},\qquad v_z=y^{2}.
Anote mentalmente: v_x depende de z apenas, v_y e v_z dependem de y apenas.

Passo 5

Calculo as derivadas parciais uma a uma, mostrando o raciocínio:
  • Para \dfrac{\partial v_x}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(z^{2}): ao derivar em relação a x, z é tratado como constante, e z^{2} não depende de x. Logo
\frac{\partial v_x}{\partial x}=0.
  • Para \dfrac{\partial v_y}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(y^{2}): aqui usamos a regra básica da derivada de potência, \dfrac{d}{dy}y^{2}=2y. Assim
\frac{\partial v_y}{\partial y}=2y.
  • Para \dfrac{\partial v_z}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(y^{2}): y^{2} não depende de z, então tratando y como constante,
\frac{\partial v_z}{\partial z}=0.

Passo 6

Agora somo as parcelas para obter a divergência:
\nabla\cdot\vec{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}=0+2y+0=2y.
Interpretação física/geométrica: a divergência mede a taxa de expansão local do volume de fluido. Se \nabla\cdot\vec{v}>0 há uma “fonte” local (expansão); se \nabla\cdot\vec{v}<0 há um “sorvedouro” local (compressão); se \nabla\cdot\vec{v}=0 não há variação volumétrica local — condição de incompressibilidade (para densidade constante).

Passo 7

Conclusão direta com base no cálculo: \nabla\cdot\vec{v}=2y. Isso é diferente de zero em geral — depende de y. O campo é divergente nulo somente na superfície y=0. Portanto, como condição global para um fluxo incompressível (densidade constante) a resposta é negativa: o campo não representa, em geral, um fluxo incompressível.

Resposta

Não, \nabla\cdot\vec{v}=2y, logo \vec{v} não é incompressível (exceto na linha/plano onde y=0).

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