QUESTÃO 01: Determine \frac{d y}{d x} com o emprego da regra da cadeia ou da implícita:
f_{(x)}=\left(2 x^{3}+3\right)^{5} f_{(x)}=\frac{\left(x^{2}+5\right)^{2}}{4} f(x)=\sqrt{x^{2}+2 x}
f(x)=\frac{2}{\sqrt{2 x^{2}+4}} f_{(x)}=2 x\left(10+5 x^{2}\right)^{3}
4 x+2 x y=4 y x^{2}+y^{2}=2 x y 9 x^{2}+9 y^{2}+18 x y=0
4 x^{2} y+4 x y^{2}=16 \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=\sqrt[3]{a b}

Passo 1

Você me deu uma tabela com várias funções e equações e pediu para determinar \frac{dy}{dx} (ou f'(x)) usando regra da cadeia ou diferenciação implícita. Vou listar claramente cada item e o que é pedido para não nos perder:
  1. f_{(x)}=\left(2 x^{3}+3\right)^{5} — calcular f'(x).
  2. f_{(x)}=\frac{\left(x^{2}+5\right)^{2}}{4} — calcular f'(x).
  3. f(x)=\sqrt{x^{2}+2 x} — calcular f'(x).
  4. f(x)=\frac{2}{\sqrt{2 x^{2}+4}} — calcular f'(x).
  5. f_{(x)}=2 x\left(10+5 x^{2}\right)^{3} — calcular f'(x).
  6. 4 x+2 x y=4 y — tratar como equação implícita e achar \dfrac{dy}{dx}.
  7. x^{2}+y^{2}=2 x y — equação implícita, achar \dfrac{dy}{dx}.
  8. 9 x^{2}+9 y^{2}+18 x y=0 — equação implícita, achar \dfrac{dy}{dx}.
  9. 4 x^{2} y+4 x y^{2}=16 — equação implícita, achar \dfrac{dy}{dx}.
  10. \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=\sqrt[3]{a b} — equação implícita (o lado direito é constante), achar \dfrac{dy}{dx}.
A partir do próximo passo eu começo a resolver passo a passo, explicando as ideias (regra da cadeia, produto, produto + cadeia, regra da derivada implícita) e mostrando todos os álgebra necessários.

Passo 2

Primeiro lembrete didático sobre a regra da cadeia (vou usar isso em vários itens): quando temos uma função composta \;F(x)=g(h(x))\;, a derivada é dada por
F'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Aqui h(x) é a “parte interna” e g a “parte externa”. Exemplo rápido: (u(x))^5 tem derivada 5(u(x))^4\cdot u'(x).
Aplicando isso ao item 1: f(x)=\big(2x^{3}+3\big)^{5}.
  • Identifico a parte interna \;u(x)=2x^{3}+3\; e a parte externa g(u)=u^{5}.
  • Derivado: u'(x)=6x^{2} e g'(u)=5u^{4}.
  • Então, pela cadeia,
f'(x)=5\big(2x^{3}+3\big)^{4}\cdot 6x^{2}.
  • Multiplicando constantes:
f'(x)=30x^{2}\big(2x^{3}+3\big)^{4}.

Passo 3

Item 2: f(x)=\dfrac{\big(x^{2}+5\big)^{2}}{4}.
Aqui é um produto de constantes e composto. Explico: f(x)=\frac{1}{4}\cdot (x^{2}+5)^{2}. Usei que derivada de u^{2} é 2u\cdot u'.
  • Seja u(x)=x^{2}+5. Então u'(x)=2x.
  • Portanto
f'(x)=\frac{1}{4}\cdot 2u(x)\cdot u'(x) =\frac{1}{4}\cdot 2(x^{2}+5)\cdot 2x.
  • Simplificando:
f'(x)=x\big(x^{2}+5\big).

Passo 4

Item 3: f(x)=\sqrt{x^{2}+2x}=(x^{2}+2x)^{1/2}.
Usamos a cadeia: se f(x)=\big(u(x)\big)^{1/2}, então f'(x)=\tfrac{1}{2}u(x)^{-1/2}u'(x).
  • Aqui u(x)=x^{2}+2x e u'(x)=2x+2.
  • Logo
f'(x)=\frac{1}{2}(x^{2}+2x)^{-1/2}\cdot(2x+2).
  • Simplificando o fator 2:
f'(x)=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^{2}+2x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x}}.

Passo 5

Item 4: f(x)=\dfrac{2}{\sqrt{2x^{2}+4}}=2\cdot(2x^{2}+4)^{-1/2}.
Vou usar cadeia direta: se f(x)=C\cdot (u(x))^{-1/2} então f'(x)=C\cdot(-\tfrac{1}{2})u(x)^{-3/2}u'(x).
  • Aqui C=2, u(x)=2x^{2}+4, u'(x)=4x.
  • Substituindo:
f'(x)=2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(2x^{2}+4)^{-3/2}\cdot 4x.
  • Simplificando os fatores 2 e -\tfrac{1}{2}:
f'(x)=-4x\,(2x^{2}+4)^{-3/2}.
  • Ou escrito como fração:
f'(x)=-\frac{4x}{\big(2x^{2}+4\big)^{3/2}}.

Passo 6

Item 5: f(x)=2x\big(10+5x^{2}\big)^{3}.
Aqui uso a regra do produto e a cadeia. Regra do produto: se f=uv então f'=u'v+uv'. Para v=(10+5x^{2})^{3} uso cadeia.
  • Seja u(x)=2x. Então u'(x)=2.
  • Seja v(x)=(10+5x^{2})^{3}. Para v' uso cadeia: v'(x)=3(10+5x^{2})^{2}\cdot(10x) porque \frac{d}{dx}(10+5x^{2})=10x.
  • Logo
v'(x)=30x\,(10+5x^{2})^{2}.
  • Aplicando produto:
f'(x)=2\cdot(10+5x^{2})^{3}+2x\cdot 30x\,(10+5x^{2})^{2}.
  • Simplificando o segundo termo 2x\cdot 30x=60x^{2} e fatorando (10+5x^{2})^{2}:
f'(x)=(10+5x^{2})^{2}\big[2(10+5x^{2})+60x^{2}\big].
  • Somando dentro do colchete:
2(10+5x^{2})+60x^{2}=20+10x^{2}+60x^{2}=20+70x^{2}=10(2+7x^{2}).
  • Assim uma forma mais compacta é
f'(x)=10(10+5x^{2})^{2}\big(2+7x^{2}\big).

Passo 7

Agora diferença implícita — ideia didática: quando y está dado implicitamente por uma equação envolvendo x e y, tratamos y como função y(x) e aplicamos a derivada a ambos os lados. Sempre que diferenciamos um termo com y aparece \dfrac{dy}{dx} por regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}y = y'.
Aplicando isso ao item 6: 4x+2xy=4y.
  • Diferencio termo a termo:
    • \dfrac{d}{dx}(4x)=4.
    • \dfrac{d}{dx}(2xy)=2\cdot\dfrac{d}{dx}(x y)=2\big(1\cdot y + x\cdot y'\big)=2(y + x y') (usei produto).
    • \dfrac{d}{dx}(4y)=4y'.
  • Montando:
4 + 2(y + x y') = 4y'.
  • Expandindo e isolando y':
4 + 2y + 2x y' = 4y' \quad\Rightarrow\quad 4+2y = 4y' - 2x y' = y'(4-2x).
  • Portanto, se 4-2x\neq 0,
y'=\frac{4+2y}{4-2x}.
  • Podemos simplificar fatorando 2:
y'=\frac{2(2+y)}{2(2-x)}=\frac{2+y}{2-x}.

Passo 8

Item 7: x^{2}+y^{2}=2xy.
Primeiro observe geometricamente e algebricamente que
x^{2}+y^{2}-2xy=(x-y)^{2}=0,
ou seja a equação representa a reta \;y=x\; (todas as soluções satisfazem y=x). Então é razoável esperar y'=1. Faço a diferenciação para confirmar:
  • Diferenciando ambos os lados:
2x + 2y y' = 2\big(y + x y'\big) = 2y + 2x y'.
  • Passo os termos para um lado:
2x + 2y y' - 2y - 2x y' = 0.
  • Agrupando y':
2x - 2y + y'(2y - 2x) = 0.
  • Escrevendo de forma factorizada:
2(x-y) + 2(y-x) y' = 0 \quad\Rightarrow\quad 2(x-y) - 2(x-y)y' = 0,
o que dá
2(x-y)\big(1 - y'\big)=0.
  • Como a equação original implica x-y=0 em todos os pontos da curva, concluímos que a solução é y'=1 (a curva é precisamente y=x, cuja derivada é 1).

Passo 9

Item 8: 9x^{2}+9y^{2}+18xy=0.
Novamente posso fatorar 9:
9(x^{2}+y^{2}+2xy)=9(x+y)^{2}=0,
portanto a curva é x+y=0 ou y=-x. Assim a derivada é -1. Faço a diferenciação para ver a estrutura:
  • Diferenciando:
18x + 18y y' + 18(y + x y') = 0.
  • Agrupando termos semelhantes:
18x + 18y + y'(18y + 18x) = 0.
  • Fatorando 18(x+y):
18(x+y) + 18(x+y)y' = 18(x+y)(1+y')=0.
  • Como a equação original implica x+y=0, a relação confirma que a curva é y=-x e portanto
y'=-1.

Passo 10

Item 9: 4x^{2}y+4xy^{2}=16.
Aqui uso produto e regra da cadeia (quando aparece y uso y'). Diferencio termo a termo:
  • Derivada de 4x^{2}y: 4\big((x^{2})'y + x^{2}y'\big)=4(2x y + x^{2}y').
  • Derivada de 4xy^{2}: 4\big(x'y^{2} + x (y^{2})'\big)=4(y^{2} + x\cdot 2y y').
  • A derivada do lado direito 16 é 0.
Somando:
4(2x y + x^{2}y') + 4(y^{2} + 2x y y') = 0.
Expandindo:
8xy + 4x^{2}y' + 4y^{2} + 8xy y' = 0.
Agrupando os termos que contêm y':
(4x^{2}+8xy)\,y' + (8xy + 4y^{2}) = 0.
Isolando y':
y' = -\frac{8xy + 4y^{2}}{4x^{2}+8xy}.
Fatorando 4 no numerador e denominador para simplificar:
y' = -\frac{4(2xy + y^{2})}{4(x^{2}+2xy)} = -\frac{2xy + y^{2}}{x^{2}+2xy}.
Ou fatorando y e x quando útil:
y' = -\frac{y(2x+y)}{x(x+2y)}.
Ambas as formas são equivalentes (desde que x(x+2y)\neq 0).

Passo 11

Item 10: \sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=\sqrt[3]{ab}. O lado direito é constante (chamo C=\sqrt[3]{ab}), então diferenciando obtemos:
  • Escrevo as raízes cúbicas como potências: x^{1/3}+y^{1/3}=C.
  • Diferenciando:
\frac{1}{3}x^{-2/3} + \frac{1}{3}y^{-2/3}y' = 0.
  • Multiplico por 3 para simplificar:
x^{-2/3} + y^{-2/3}y' = 0.
  • Isolando y':
y' = -\frac{x^{-2/3}}{y^{-2/3}} = -x^{-2/3}\cdot y^{2/3}.
  • Escrevendo de forma mais clara:
y' = -\frac{y^{2/3}}{x^{2/3}} = -\left(\frac{y}{x}\right)^{2/3}.
Essa é a expressão de \dfrac{dy}{dx} válida quando x\neq 0. (Para raízes cúbicas negativas a fórmula com potências fracionárias de expoente 1/3 e -2/3 continua consistente para raízes ímpares.)

Resposta

30x^{2}\big(2x^{3}+3\big)^{4}\n
x\big(x^{2}+5\big)\n
\dfrac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x}}\n
-\dfrac{4x}{\big(2x^{2}+4\big)^{3/2}}\n
10(10+5x^{2})^{2}\big(2+7x^{2}\big)\n
\dfrac{2+y}{2-x}\n
1\n
-1\n
-\dfrac{2xy + y^{2}}{x^{2}+2xy}\n
-\dfrac{y^{2/3}}{x^{2/3}}

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