QUESTÃO 01: Determine
com o emprego da regra da cadeia ou da implícita:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Passo 1
Você me deu uma tabela com várias funções e equações e pediu para determinar
(ou
) usando regra da cadeia ou diferenciação implícita. Vou listar claramente cada item e o que é pedido para não nos perder:
-
— calcular . -
— calcular . -
— calcular . -
— calcular . -
— calcular . -
— tratar como equação implícita e achar . -
— equação implícita, achar . -
— equação implícita, achar . -
— equação implícita, achar . -
— equação implícita (o lado direito é constante), achar .
A partir do próximo passo eu começo a resolver passo a passo, explicando as ideias (regra da cadeia, produto, produto + cadeia, regra da derivada implícita) e mostrando todos os álgebra necessários.
Passo 2
Primeiro lembrete didático sobre a regra da cadeia (vou usar isso em vários itens): quando temos uma função composta
, a derivada é dada por
Aqui
é a “parte interna” e
a “parte externa”. Exemplo rápido:
tem derivada
.
Aplicando isso ao item 1:
.
- Identifico a parte interna
e a parte externa . - Derivado:
e . - Então, pela cadeia,
- Multiplicando constantes:
Passo 3
Item 2:
.
Aqui é um produto de constantes e composto. Explico:
. Usei que derivada de
é
.
- Seja
. Então . - Portanto
- Simplificando:
Passo 4
Item 3:
.
Usamos a cadeia: se
, então
.
- Aqui
e . - Logo
- Simplificando o fator
:
Passo 5
Item 4:
.
Vou usar cadeia direta: se
então
.
- Aqui
, , . - Substituindo:
- Simplificando os fatores
e :
- Ou escrito como fração:
Passo 6
Item 5:
.
Aqui uso a regra do produto e a cadeia. Regra do produto: se
então
. Para
uso cadeia.
- Seja
. Então . - Seja
. Para uso cadeia: porque . - Logo
- Aplicando produto:
- Simplificando o segundo termo
e fatorando :
- Somando dentro do colchete:
- Assim uma forma mais compacta é
Passo 7
Agora diferença implícita — ideia didática: quando
está dado implicitamente por uma equação envolvendo
e
, tratamos
como função
e aplicamos a derivada a ambos os lados. Sempre que diferenciamos um termo com
aparece
por regra da cadeia:
.
Aplicando isso ao item 6:
.
- Diferencio termo a termo:
-
. -
(usei produto). -
.
-
- Montando:
- Expandindo e isolando
:
- Portanto, se
,
- Podemos simplificar fatorando
:
Passo 8
Item 7:
.
Primeiro observe geometricamente e algebricamente que
ou seja a equação representa a reta
(todas as soluções satisfazem
). Então é razoável esperar
. Faço a diferenciação para confirmar:
- Diferenciando ambos os lados:
- Passo os termos para um lado:
- Agrupando
:
- Escrevendo de forma factorizada:
o que dá
- Como a equação original implica
em todos os pontos da curva, concluímos que a solução é (a curva é precisamente , cuja derivada é ).
Passo 9
Item 8:
.
Novamente posso fatorar
:
portanto a curva é
ou
. Assim a derivada é
. Faço a diferenciação para ver a estrutura:
- Diferenciando:
- Agrupando termos semelhantes:
- Fatorando
:
- Como a equação original implica
, a relação confirma que a curva é e portanto
Passo 10
Item 9:
.
Aqui uso produto e regra da cadeia (quando aparece
uso
). Diferencio termo a termo:
- Derivada de
: . - Derivada de
: . - A derivada do lado direito
é .
Somando:
Expandindo:
Agrupando os termos que contêm
:
Isolando
:
Fatorando
no numerador e denominador para simplificar:
Ou fatorando
e
quando útil:
Ambas as formas são equivalentes (desde que
).
Passo 11
Item 10:
. O lado direito é constante (chamo
), então diferenciando obtemos:
- Escrevo as raízes cúbicas como potências:
. - Diferenciando:
- Multiplico por
para simplificar:
- Isolando
:
- Escrevendo de forma mais clara:
Essa é a expressão de
válida quando
. (Para raízes cúbicas negativas a fórmula com potências fracionárias de expoente
e
continua consistente para raízes ímpares.)