\iint_{\substack{R \\\ y=x, y=0 \text { e } x=\pi}} x. onde R é a região compreendida por y=x, y=0 e x=\pi.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{R} x\,dA,
onde R é a região limitada pelas curvas y=x, y=0 e x=\pi.
Informações e perguntas claras:
  • Integração a ser feita: \iint_{R} x\,dA.
  • Região R é a região no plano com fronteiras:
    • y=0 (eixo x),
    • y=x (reta com inclinação 1 passando pela origem),
    • x=\pi (reta vertical).
  • Não há outras condições. A pergunta é: calcular o valor numérico desta integral dupla.

Passo 2

Descrever geometricamente a região R para encontrar os limites de integração.
Intersecções das fronteiras (obtidas resolvendo as equações das retas):
  • y=0 e y=x intersectam em (0,0).
  • y=x e x=\pi intersectam em (\pi,\pi) (pegou-se o ponto da interseção usando x=\pi e y=x).
  • y=0 e x=\pi intersectam em (\pi,0).
Portanto R é o triângulo com vértices (0,0), (\pi,0) e (\pi,\pi). Para um x fixo entre 0 e \pi, o valor de y varia de 0 até x. Essa é a descrição em “ordem dy\,dx”.

Passo 3

Escolher a ordem de integração e montar a integral iterada.
Motivo da escolha: a integranda é x, que não depende de y. Com a ordem dy\,dx o limite interior para y é simples ( 0 até x) e o limite exterior para x é 0 até \pi. Logo a integral dupla pode ser escrita como
\iint_{R} x\,dA = \int_{x=0}^{\pi}\left(\int_{y=0}^{x} x\,dy\right)dx.
Aqui a variável de integração interna é y e a externa é x. Note que dentro da integral interna x é tratado como constante (porque estamos integrando em relação a y).

Passo 4

Calcular a integral interna \displaystyle \int_{y=0}^{x} x\,dy.
Como x é constante em relação a y, pode-se fatorar:
\int_{y=0}^{x} x\,dy = x\int_{y=0}^{x} 1\,dy.
A integral de 1 em relação a y de 0 a x é simplesmente y avaliada entre os limites:
\int_{y=0}^{x} 1\,dy = \bigl[y\bigr]_{0}^{x} = x-0 = x.
Portanto
\int_{y=0}^{x} x\,dy = x\cdot x = x^{2}.
Comentário didático rápido: sempre que a integranda não depende da variável de integração interna, é ótimo porque ela sai como constante e simplifica bastante.

Passo 5

Agora a integral dupla fica uma integral simples em x:
\iint_{R} x\,dA = \int_{0}^{\pi} x^{2}\,dx.
Explicar a regra que vamos usar: a regra do poder para primitiva diz que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=2, então a primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}.

Passo 6

Calcular a integral externa usando a primitiva encontrada:
\int_{0}^{\pi} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{\pi^{3}}{3}.
Interpretação rápida: o valor \dfrac{\pi^{3}}{3} é o “acúmulo” da função x sobre a área do triângulo R. Como x cresce com x, o resultado envolve \pi^{3}.

Resposta

\dfrac{\pi^{3}}{3}

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