. onde
é a região compreendida por
e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelas curvas
,
e
.
Informações e perguntas claras:
- Integração a ser feita:
. - Região
é a região no plano com fronteiras: -
(eixo ), -
(reta com inclinação passando pela origem), -
(reta vertical).
-
- Não há outras condições. A pergunta é: calcular o valor numérico desta integral dupla.
Passo 2
Descrever geometricamente a região
para encontrar os limites de integração.
Intersecções das fronteiras (obtidas resolvendo as equações das retas):
-
e intersectam em . -
e intersectam em (pegou-se o ponto da interseção usando e ). -
e intersectam em .
Portanto
é o triângulo com vértices
,
e
. Para um
fixo entre
e
, o valor de
varia de
até
. Essa é a descrição em “ordem
”.
Passo 3
Escolher a ordem de integração e montar a integral iterada.
Motivo da escolha: a integranda é
, que não depende de
. Com a ordem
o limite interior para
é simples (
até
) e o limite exterior para
é
até
. Logo a integral dupla pode ser escrita como
Aqui a variável de integração interna é
e a externa é
. Note que dentro da integral interna
é tratado como constante (porque estamos integrando em relação a
).
Passo 4
Calcular a integral interna
.
Como
é constante em relação a
, pode-se fatorar:
A integral de
em relação a
de
a
é simplesmente
avaliada entre os limites:
Portanto
Comentário didático rápido: sempre que a integranda não depende da variável de integração interna, é ótimo porque ela sai como constante e simplifica bastante.
Passo 5
Agora a integral dupla fica uma integral simples em
:
Explicar a regra que vamos usar: a regra do poder para primitiva diz que, para
,
Aqui
, então a primitiva de
é
.
Passo 6
Calcular a integral externa usando a primitiva encontrada:
Interpretação rápida: o valor
é o “acúmulo” da função
sobre a área do triângulo
. Como
cresce com
, o resultado envolve
.