Se f(t)=t i+t^2 j+4 t^3 k e g(t)=t i+j+t^2 k, t >= 0, Determine:
lim t 1[f(t) times g(t)]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando tto 1 do produto vetorial entre as funções vetoriais vec f(t)=tvec i + t^2vec j + 4t^3vec k e vec g(t)=tvec i + vec j + t^2vec k. O conteúdo principal aqui é o produto vetorial em R^3, que vamos resolver usando a definição por determinante.

Passo 2

Para calcular o produto vetorial, montamos o determinante:
vec f(t) times vec g(t) = vec i & vec j & vec k t & t^2 & 4t^3 t & 1 & t^2

Passo 3

Expandindo o determinante pelos cofatores e simplificando, obtemos
vec f(t)times vec g(t) = vec i,(t^2cdot t^2 - 4t^3cdot 1) - vec j,(tcdot t^2 - 4t^3cdot t) + vec k,(tcdot 1 - t^2cdot t),
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vec f(t)times vec g(t) = (t^4 - 4t^3),vec i + (-t^3 + 4t^4),vec j + (t - t^3),vec k

Passo 4

Agora basta avaliar em t=1 para o limite:
(t^4 - 4t^3,;-t^3 + 4t^4,;t - t^3)|t=1 = (1-4,;-1+4,;1-1) = (-3,;3,;0)

Resposta

-3,\vec i + 3,\vec j

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