Ill a. Um ciclotron de 65 cm de diâmetro emprega uma diferença de potencial oscilante de 500 V entre os Ds. Qual é a energia cinética máxima do próton se a intensidade do campo magnético é 0,75 \mathrm{~T} ?
b. Quantas revoluções o próton faz antes de deixar o ciclotron?

Passo 1

O enunciado fala de um ciclotron de diâmetro d=0,65\\ \mathrm{m} sujeito a um campo magnético uniforme B=0,75\\ \mathrm{T} e a uma diferença de potencial oscilante \Delta V=500\\ \mathrm{V} entre os “Ds”. Precisamos (a) calcular a energia cinética máxima do próton ao alcançar o raio máximo e (b) determinar quantas revoluções ele faz antes de sair do ciclotron.

Passo 2

Para a parte (a), note que o raio máximo da órbita é
r = \frac{d}{2} = \frac{0,65}{2} = 0,325\\ \mathrm{m}.
No regime não relativístico temos a relação da força magnética com a força centrípeta, que leva à expressão
r = \frac{m v}{q B} \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{q B r}{m}.
Daí a energia cinética é
K = \tfrac12 m v^2 = \frac{q^2 B^2 r^2}{2m}.

Passo 3

Agora substituímos q=1{,}60\times10^{-19}\\ \mathrm{C} e m=1{,}67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}:
K = \frac{\bigl(1{,}60\times10^{-19}\bigr)^2 (0,75)^2 (0,325)^2}{2\,(1{,}67\times10^{-27})} \approx 4,56\times10^{-13}\\ \mathrm{J}.
Para converter em elétron-volts, use 1\\ \mathrm{eV}=1{,}60\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
K \approx \frac{4,56\times10^{-13}}{1{,}60\times10^{-19}} \approx 2,85\times10^{6}\\ \mathrm{eV} =2{,}85\\ \mathrm{MeV}.

Passo 4

Para a parte (b), em cada travessia do espaço entre os Ds o próton ganha energia q\,\Delta V, e ele faz duas travessias por revolução completa. Logo, o ganho de energia por revolução é
\Delta K_{\rm rev}=2\,q\,\Delta V.
O número de revoluções necessárias para acumular K é
N_{\rm rev}=\frac{K}{2\,q\,\Delta V}.

Passo 5

Substituindo K=4,56\times10^{-13}\\ \mathrm{J}, q=1,60\times10^{-19}\\ \mathrm{C} e \Delta V=500\\ \mathrm{V}:
2\,q\,\Delta V = 2\,(1{,}60\times10^{-19})(500) =1{,}60\times10^{-16}\\ \mathrm{J},
N_{\rm rev} = \frac{4,56\times10^{-13}}{1,60\times10^{-16}} \approx 2,85\times10^{3}.

Resposta

A energia cinética máxima do próton é aproximadamente 2{,}85\\ \mathrm{MeV}, e ele faz cerca de 2{,}8\times10^{3} revoluções antes de deixar o ciclotron.

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