A iluminação e os motores de uma pequena fábrica, alimentada em 220 \mathrm{~V} / 60 \mathrm{~Hz}, estabelecem uma demanda de potência igual a (20 ) kW com um FP atrasado de 0,85 . Determine o valor do capacitor que deve ser colocado em paralelo com a carga para elevar o FP para 1.
Alternativas:
(A) 0,001 \mu \mathrm{~F} \leq C \leq 100,000 \mu \mathrm{~F}
(B) 100,001 \mu \mathrm{~F} \leq C \leq 200,000 \mu \mathrm{~F}
(C) 200,001 \mu \mathrm{~F} \leq C \leq 300,000 \mu \mathrm{~F}
(D) 300,001 \mu \mathrm{~F} \leq C \leq 400,000 \mu \mathrm{~F}
(E) C \geq 400,001 \mu \mathrm{~F}

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara do que foi informado e do que é pedido):
  • Tensão eficaz da rede: V=220\\ \mathrm{V}.
  • Frequência: f=60\\ \mathrm{Hz}.
  • Potência ativa demandada pela carga: P=20{,}0\\ \mathrm{kW}=20000\\ \mathrm{W}.
  • Fator de potência atual (atrasado): \mathrm{FP}_1=0{,}85 (ou seja \cos\varphi_1=0{,}85).
  • Pedido: determinar o valor do capacitor que deve ser ligado em paralelo com a carga para elevar o fator de potência para 1 (unidade). Em outras palavras, calcular C (em \mu\mathrm{F}) que anula a potência reativa da carga.

Passo 2

Entendendo a relação entre potência ativa, reativa e fator de potência (a “aula” necessária).
  • Para uma carga qualquer, a potência aparente S (em VA), ativa P (em W) e reativa Q (em VAR) formam o triângulo de potências onde
\cos\varphi=\frac{P}{S}, \qquad \tan\varphi=\frac{Q}{P}.
Aqui \varphi é o ângulo de fase entre tensão e corrente (positivo para carga indutiva).
  • Se conhecemos P e o fator de potência \cos\varphi, podemos obter Q por
Q = P\tan\varphi.
  • Para um capacitor ligado em paralelo, a potência reativa fornecida pelo capacitor (módulo) é dada por
Q_C = V^2\omega C,
onde \omega=2\pi f é a pulsação, V é a tensão eficaz e C é a capacitância (em farads). Essa expressão vem de I_C = V\omega C e Q_C = V\cdot I_C.
  • Para elevar o fator de potência da carga para 1 (unidade), é preciso que o capacitor forneça exatamente a potência reativa que a carga consome (em módulo). Logo precisamos ter Q_C = Q_{\text{carga}}.

Passo 3

Calcular a potência reativa atual da carga (usar uma fórmula que evita arcos, útil na prova).
  • Como \cos\varphi_1=0{,}85, podemos usar
\tan\varphi_1=\frac{\sqrt{1-\cos^2\varphi_1}}{\cos\varphi_1} =\frac{\sqrt{1-(0{,}85)^2}}{0{,}85}.
  • Calcular numericamente:
\sqrt{1-(0{,}85)^2}=\sqrt{1-0{,}7225}=\sqrt{0{,}2775}\approx0{,}52679.
\tan\varphi_1\approx\frac{0{,}52679}{0{,}85}\approx0{,}61976.
  • Portanto a potência reativa da carga (em módulo) é
Q_{\text{carga}}=P\tan\varphi_1 =20000\cdot 0{,}61976\approx 12395\\ \mathrm{VAR}\approx 12{,}395\\ \mathrm{kVAR}.

Passo 4

Relacionar Q_{\text{carga}} com o capacitor e resolver para C.
  • Para corrigir até fator de potência unitário, o capacitor deve fornecer Q_C=Q_{\text{carga}}.
  • Usando Q_C=V^2\omega C e isolando C:
C=\frac{Q_C}{V^2\omega}.
  • Aqui as variáveis significam:
    • C: capacitância em farads ( \mathrm{F}).
    • Q_C: potência reativa do capacitor em VAR (aqui igual a Q_{\text{carga}}).
    • V: tensão eficaz em volts.
    • \omega=2\pi f: pulsação em rad/s.

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular C, com conversão para \mu\mathrm{F}.
  • Primeiro calcule \omega:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 60\approx 376{,}9911184\\ \mathrm{rad/s}.
  • Calcule V^2\omega:
V^2\omega=(220)^2\cdot 376{,}9911184=48400\cdot 376{,}9911184\approx 18\,246\,370\\ \text{(unidade: V}^2\!\cdot\!\text{rad/s)}.
  • Agora
C=\frac{Q_{\text{carga}}}{V^2\omega}\approx\frac{12395}{18\,246\,370}\\ \mathrm{F}\approx 6{,}79\times 10^{-4}\\ \mathrm{F}.
  • Converter para microfarads:
C\approx 6{,}79\times 10^{-4}\\ \mathrm{F}=679\\ \mu\mathrm{F}\\ (\text{aprox. }680\\ \mu\mathrm{F}).

Passo 6

Verificação rápida e escolha da alternativa:
  • O valor calculado C\approx 680\\ \mu\mathrm{F} enquadra-se no intervalo da alternativa (A), que é 0{,}001\\ \mu\mathrm{F}\le C\le 100\,000\\ \mu\mathrm{F}.

Resposta

C\approx 680\\ \mu\mathrm{F}
(A)

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