Um sistema trifásico ABC a quatro condutores apresenta \mathrm{V}_{\mathrm{BC}}=380 \measuredangle 0^{\circ} \mathrm{V} e alimenta uma carga desequilibrada com \mathbf{Z}_{\mathbf{A}}=3 \quad \measuredangle 30^{\circ} \Omega, \mathbf{Z}_{\mathbf{B}}=7 \measuredangle 0^{\circ} \Omega e \mathbf{Z}_{\mathbf{C}}=5 \measuredangle-40^{\circ} \Omega. Determine a corrente eficaz no condutor neutro.
Alternativas:
(A) I_{N} \leq 15,00 \mathrm{~A}
(B) 20,01 \mathrm{~A} \leq I_{N} \leq 30,00 \mathrm{~A}
(C) 40,01 \mathrm{~A} \leq I_{N} \leq 50,00 \mathrm{~A}
(D) 60,01 \mathrm{~A} \leq I_{N} \leq 70,00 \mathrm{~A}
(E) Nenhuma das anteriores.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Tensão entre as fases B e C: \mathrm{V}_{\mathrm{BC}} = 380\\ \measuredangle 0^{\circ}\\ \mathrm{V}.
    • Impedâncias da carga (cada fase ligada fase-neutro, carga desequilibrada):
      • \mathbf{Z}_{A} = 3\\ \measuredangle 30^{\circ}\\ \Omega.
      • \mathbf{Z}_{B} = 7\\ \measuredangle 0^{\circ}\\ \Omega.
      • \mathbf{Z}_{C} = 5\\ \measuredangle -40^{\circ}\\ \Omega.
  • O que a questão pede:
    • Determinar a corrente eficaz (rms) no condutor neutro, ou seja o módulo do fasor da corrente de neutro I_{N} = I_{A}+I_{B}+I_{C}.

Passo 2

Entender como obter as tensões fase-neutro a partir de \mathrm{V}_{BC}.
  • Em um sistema simétrico com sequência positiva ABC, a relação entre uma tensão de linha (por exemplo \mathrm{V}_{BC}) e a tensão de fase (por exemplo \mathrm{V}_{BN}) é
\mathrm{V}_{\text{linha}} = \sqrt{3}\,\mathrm{V}_{\text{fase}}\\ \measuredangle 30^{\circ}.
Isto decorre de \mathrm{V}_{XY}=\mathrm{V}_{X}-\mathrm{V}_{Y} e da separação de 120^{\circ} entre as tensões de fase. Assim, isolando a tensão de fase associada a B:
\mathrm{V}_{BN}=\frac{\mathrm{V}_{BC}}{\sqrt{3}}\\ \measuredangle -30^{\circ}.
  • Como a sequência é ABC, as tensões de fase ficam defasadas de 120^{\circ} entre si:
\mathrm{V}_{AN}=\mathrm{V}_{BN}\\ \measuredangle 120^{\circ},\qquad \mathrm{V}_{CN}=\mathrm{V}_{BN}\\ \measuredangle -120^{\circ}.

Passo 3

Calcular numericamente as tensões fase-neutro (pegando \mathrm{V}_{BC}=380\\ \measuredangle 0^{\circ}\\ \mathrm{V} do enunciado).
  • Primeiro o módulo da tensão de fase:
\frac{380}{\sqrt{3}}=\frac{380}{1{,}73205}\approx 219{,}39\\ \mathrm{V}.
  • Logo as tensões de fase são
\mathrm{V}_{BN}=219{,}39\\ \measuredangle -30^{\circ}\\ \mathrm{V},
\mathrm{V}_{AN}=219{,}39\\ \measuredangle ( -30^{\circ} +120^{\circ})=219{,}39\\ \measuredangle 90^{\circ}\\ \mathrm{V},
\mathrm{V}_{CN}=219{,}39\\ \measuredangle ( -30^{\circ} -120^{\circ})=219{,}39\\ \measuredangle -150^{\circ}\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Calcular as correntes de fase usando \mathbf{I}_{k}=\dfrac{\mathrm{V}_{kN}}{\mathbf{Z}_{k}} para k=A,B,C. Aqui explico: dividir fasores significa dividir módulos e subtrair ângulos.
  • Para a fase A:
I_{A}=\frac{219{,}39\\ \measuredangle 90^{\circ}}{3\\ \measuredangle 30^{\circ}} =\frac{219{,}39}{3}\\ \measuredangle(90^{\circ}-30^{\circ}) =73{,}13\\ \measuredangle 60^{\circ}\\ \mathrm{A}.
  • Para a fase B:
I_{B}=\frac{219{,}39\\ \measuredangle -30^{\circ}}{7\\ \measuredangle 0^{\circ}} =\frac{219{,}39}{7}\\ \measuredangle(-30^{\circ}-0^{\circ}) =31{,}34\\ \measuredangle -30^{\circ}\\ \mathrm{A}.
  • Para a fase C:
I_{C}=\frac{219{,}39\\ \measuredangle -150^{\circ}}{5\\ \measuredangle -40^{\circ}} =\frac{219{,}39}{5}\\ \measuredangle(-150^{\circ}-(-40^{\circ})) =43{,}88\\ \measuredangle -110^{\circ}\\ \mathrm{A}.
(Dica rápida: ao dividir, faça módulo divisão normal e subtraia os ângulos.)

Passo 5

Converter cada corrente para forma rectangular (parte real + j parte imaginária), usando razões trigonométricas conhecidas:
  • Para I_{A}=73{,}13\\ \measuredangle 60^{\circ}:
\Re(I_{A})=73{,}13\cos60^{\circ}=73{,}13\cdot 0{,}5=36{,}56465,
\Im(I_{A})=73{,}13\sin60^{\circ}=73{,}13\cdot 0{,}866025\approx 63{,}3272.
Portanto I_{A}\approx 36{,}5647 + j63{,}3272\\ \mathrm{A}.
  • Para I_{B}=31{,}34\\ \measuredangle -30^{\circ}:
\Re(I_{B})=31{,}34\cos(-30^{\circ})=31{,}34\cdot 0{,}866025\approx 27{,}1349,
\Im(I_{B})=31{,}34\sin(-30^{\circ})=31{,}34\cdot(-0{,}5)\approx -15{,}6706.
Portanto I_{B}\approx 27{,}1349 - j15{,}6706\\ \mathrm{A}.
  • Para I_{C}=43{,}88\\ \measuredangle -110^{\circ}:
\cos(-110^{\circ})=\cos110^{\circ}=-0{,}342020,\qquad \sin(-110^{\circ})=-0{,}939693,
\Re(I_{C})=43{,}88\cdot(-0{,}342020)\approx -15{,}0000,
\Im(I_{C})=43{,}88\cdot(-0{,}939693)\approx -41{,}2350.
Portanto I_{C}\approx -15{,}0000 - j41{,}2350\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Somar as componentes reais entre si e as imaginárias entre si para obter I_{N}=I_{A}+I_{B}+I_{C}.
  • Parte real:
\Re(I_{N})=36{,}5647 + 27{,}1349 - 15{,}0000 = 48{,}6996\\ \mathrm{A}.
  • Parte imaginária:
\Im(I_{N})=63{,}3272 - 15{,}6706 - 41{,}2350 = 6{,}4216\\ \mathrm{A}.
  • Assim o fasor
I_{N}=48{,}6996 + j\,6{,}4216\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Calcular o módulo (valor eficaz) de I_{N} a partir de suas componentes retangulares; a fórmula é |I_{N}|=\sqrt{(\Re(I_{N}))^{2}+(\Im(I_{N}))^{2}}.
|I_{N}|=\sqrt{48{,}6996^{2}+6{,}4216^{2}} =\sqrt{2\,372{,}277 + 41{,}246}\approx \sqrt{2\,413{,}523}\approx 49{,}13\\ \mathrm{A}.

Passo 8

Interpretação final e escolha da alternativa.
  • O módulo calculado é aproximadamente \,49{,}13\\ \mathrm{A}, que pertence ao intervalo 40{,}01\\ \mathrm{A}\leq I_{N}\leq 50{,}00\\ \mathrm{A}.
  • Portanto a alternativa correta é a (C).

Resposta

\;I_{N}\approx 49{,}13\\ \mathrm{A} — Alternativa (C)

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