Ilustre a integral de inversão de Mellin aplicando-a aos seguintes problemas de inversão:
Especifique o contorno em cada caso e produza os detalhes matemáticos necessários para desenvolver os resultados.
Passo 1
Nesse exercício vamos inverter o transformado de Laplace
usando a integral de inversão de Mellin (fórmula de Bromwich). O conteúdo principal é a fórmula de inversão
, e precisaremos também de decomposição em frações parciais e do teorema dos resíduos.
Passo 2
A integral de inversão de Mellin (Bromwich) é dada por
Escolhemos o contorno vertical
com
, de modo que todos os polos de
(polo duplo em
e polo simples em
) fiquem à esquerda. Para
, fechamos o contorno para a esquerda e aplicamos o teorema dos resíduos.
Passo 3
Fazendo a decomposição em frações parciais para
obtemos, após igualar coeficientes e resolver o sistema,
isto é,
Passo 4
Agora aplicamos o teorema dos resíduos em cada termo multiplicado por
:
- Para
(polo simples em ): Resíduo = . - Para
(polo duplo em ): - Para
(polo simples em ): Resíduo = .
Somando todos e multiplicando por, chegamos a