Ilustre a integral de inversão de Mellin aplicando-a aos seguintes problemas de inversão:
L^-1s+1(s+2)^2(s+3)
Especifique o contorno em cada caso e produza os detalhes matemáticos necessários para desenvolver os resultados.

Passo 1

Nesse exercício vamos inverter o transformado de Laplace F(s)=s+1(s+2)^2(s+3) usando a integral de inversão de Mellin (fórmula de Bromwich). O conteúdo principal é a fórmula de inversão f(t)=12pi iintegralgamma-iinfty^gamma+iinftye^stF(s),ds, e precisaremos também de decomposição em frações parciais e do teorema dos resíduos.

Passo 2

A integral de inversão de Mellin (Bromwich) é dada por
f(t)=12pi iintegralgamma - iinfty^gamma + iinftye^stF(s),ds
Escolhemos o contorno vertical Re(s)=gamma com gamma>-2, de modo que todos os polos de F(s) (polo duplo em s=-2 e polo simples em s=-3) fiquem à esquerda. Para t>0, fechamos o contorno para a esquerda e aplicamos o teorema dos resíduos.

Passo 3

Fazendo a decomposição em frações parciais para
s+1(s+2)^2(s+3) =As+2+B(s+2)^2+Cs+3,
obtemos, após igualar coeficientes e resolver o sistema,
A=2, B=-1, C=-2,
isto é,
s+1(s+2)^2(s+3)=2s+2-1(s+2)^2-2s+3

Passo 4

Agora aplicamos o teorema dos resíduos em cada termo multiplicado por e^st:
  • Para 2/(s+2) (polo simples em s=-2): Resíduo = 2e^-2t.
  • Para -1/(s+2)^2 (polo duplo em s=-2):
  • Para Ress=-2l(e^st-1(s+2)^2r) =limsto-2ddsl[-e^str] =-t,e^-2t (polo simples em -2/(s+3)): Resíduo = s=-3.
    Somando todos e multiplicando por -2e^-3t, chegamos a
1/(2pi i)times2pi i

Resposta

f(t)=e^-2t(2-t)-2e^-3t

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