1-56 Calcule a integral.
integral sen x+sec ^5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral (sin x + sec^5 x),dx. O conteúdo envolve dois casos: uma integral simples de sin x e uma integral de potência ímpar de sec x, que vamos resolver com redução usando integração por partes e a identidade trigonométrica tan^2 x = sec^2 x -1.

Passo 2

Primeiro, calculamos integral sin x,dx. Sabemos que a derivada de cos x é -sin x, então
integral sin x,dx = -cos x + C1

Passo 3

Agora, para integral sec^5 x,dx, escrevemos sec^5 x = sec^3 xsec^2 x e aplicamos integração por partes: tomamos
u = sec^3 x, dv = sec^2 x,dx,
de onde
du = 3sec^3 xtan x,dx, v = tan x

Passo 4

Pela fórmula de partes:
integral sec^5 x,dx = u,v - integral v,du = sec^3 xtan x - 3integral sec^3 xtan^2 x,dx

Passo 5

Usando tan^2 x = sec^2 x -1 dentro da integral:
integral sec^5 x,dx = sec^3 xtan x -3integral (sec^5 x - sec^3 x),dx

Passo 6

Chamando I = integral sec^5 x,dx e isolando:
I = sec^3 xtan x -3I +3integral sec^3 x,dx implies 4I = sec^3 xtan x +3integral sec^3 x,dx

Passo 7

Falta integral sec^3 x,dx. Usamos a redução ou lembramos do resultado padrão:
integral sec^3 x,dx = tfrac12l(sec xtan x + ln|sec x + tan x|r) + C2

Passo 8

Substituindo em 4I:
4I = sec^3 xtan x + tfrac32l(sec xtan x + ln|sec x + tan x|r)
e dividindo por 4:
integral sec^5 x,dx = I = tfrac14sec^3 xtan x + tfrac38sec xtan x + tfrac38ln|sec x + tan x| + C3

Passo 9

Por fim, somamos os dois resultados:
integral (sin x + sec^5 x),dx = l(-cos xr) + l(tfrac14sec^3 xtan x + tfrac38sec xtan x + tfrac38ln|sec x + tan x|r) + C

Resposta

-\cos x + \frac{1}{4}\sec^3 x\tan x + \frac{3}{8}\sec x\tan x + \frac{3}{8}\ln|\sec x + \tan x| + C

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