1-56 Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. O conteúdo envolve dois casos: uma integral simples de
e uma integral de potência ímpar de
, que vamos resolver com redução usando integração por partes e a identidade trigonométrica
.
Passo 2
Primeiro, calculamos
. Sabemos que a derivada de
é
, então
Passo 3
Agora, para
, escrevemos
e aplicamos integração por partes: tomamos
de onde
Passo 4
Pela fórmula de partes:
Passo 5
Usando
dentro da integral:
Passo 6
Chamando
e isolando:
Passo 7
Falta
. Usamos a redução ou lembramos do resultado padrão:
Passo 8
Substituindo em
:
e dividindo por 4:
Passo 9
Por fim, somamos os dois resultados:
Resposta
-\cos x + \frac{1}{4}\sec^3 x\tan x + \frac{3}{8}\sec x\tan x + \frac{3}{8}\ln|\sec x + \tan x| + C