Um imã se aproxima de um solenóide de forma que é aplicado um campo magnético perpendicular à uma área de 20 espiras de raio 10 cm , provocando uma variação do fluxo magnético nesse solenóide. a) Qual a variação do fluxo magnético nesse solenóide se esta ação induz i=20A, considerando que inicialmente não havia corrente nem campo magnético no solenóide? b) Qual o módulo da força eletromotriz induzida no fio das espiras se essa variação de fluxo ocorre em 0,5 s? c) Qual é a direção e sentido do campo produzido pelas espiras em reação a esta ação?

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos (o que o problema pede):\n
  • Temos um conjunto de 20 espiras (ou voltas) com raio 10\\ \text{cm}.\n
  • Um ímã se aproxima e aplica um campo magnético perpendicular à área das espiras, provocando uma variação do fluxo magnético.\n
  • A ação induz uma corrente elétrica de módulo i=20\\ \text{A} no conjunto de espiras.\n
  • Condição inicial: não havia corrente nem campo magnético no solenóide (isto é, fluxo inicial nulo).\n
    Perguntas do enunciado:\n
    a) Qual é a variação do fluxo magnético nesse solenóide, dada a corrente induzida i=20\\ \text{A}?\n
    b) Qual o módulo da força eletromotriz induzida no fio das espiras se essa variação de fluxo ocorre em \,0{,}5\\ \text{s}?\n
    c) Qual é a direção e o sentido do campo produzido pelas espiras em reação a esta ação (Lenz)?\n
    Dados numéricos identificados: N=20 (nº de espiras), r=10\\ \text{cm}=0{,}10\\ \text{m}, i=20\\ \text{A}, \Delta t=0{,}5\\ \text{s}. Nada mais foi dado (por exemplo, comprimento do solenóide ou resistência do fio).

Passo 2

Esclarecimento do método e escolha feita (por que este caminho):\n
O enunciado não dá comprimento do solenóide nem resistência, por isso há ambiguidade se devemos usar a fórmula do indutância de um solenóide longo L=\mu_0 N^2 A/\ell. Para obter um valor numérico preciso seria necessário \ell. Para tornar a questão numérica e mantê-la simples, eu vou aproximar o conjunto de N espiras por N voltas circulares muito próximas (um “carretel” pequeno) e usar a fórmula do campo magnético no centro de N espiras circulares coincidentes:\n
B_{\text{ind}} \approx \frac{\mu_0 N I}{2R},\n
onde explico cada coisa no próximo passo. Essa é uma aproximação padrão quando o conjunto de espiras é curto e o campo na região da área pode ser aproximado pelo campo no centro. A vantagem: permite calcular numericamente a variação do fluxo criada pela própria corrente induzida (que é o que força a corrente, por Lenz). Vou explicitar a hipótese para você — se seu professor esperava outro modelo (por exemplo solenóide longo), trocaríamos por L=\mu_0 N^2 A/\ell e precisaríamos de \ell.

Passo 3

Conceitos essenciais e fórmulas que vamos usar (explicação didática):\n
  • Fluxo magnético por espira: \Phi = B\cdot A, onde \Phi é o fluxo através de uma espira (unidade: Weber, \text{Wb}), B é a magnitude do campo magnético perpendicular à área (em tesla, \text{T}) e A é a área da espira (em metros quadrados). Aqui assumimos B aproximadamente uniforme sobre a área.\n
  • Área de uma espira circular de raio r: A=\pi r^2.\n
  • Para N espiras próximas, o fluxo ligado total (fluxo encadeado) é N\Phi.\n
  • Relação entre corrente induzida e fluxo ligado (autoindutância): a indutância efetiva L do conjunto satisfaz N\Phi = L I. Isso vem do fato de que a corrente nas espiras gera um fluxo próprio ligado às espiras; esse fluxo ligado pode ser escrito como L I. Aqui vou usar implicitamente essa relação ao calcular o fluxo a partir da corrente.\n
  • Alternativamente, o campo magnético produzido por N espiras circulares muito próximas, no centro, é aproximadamente\n B \approx \frac{\mu_0 N I}{2R},\nonde \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m} é a permeabilidade do vácuo, N o número de voltas, I a corrente e R o raio (aqui R=r). Vou usar essa fórmula para estimar B e, então, \Phi=B\,A.\n
  • Lei de Faraday (módulo): a força eletromotriz induzida no fio é |\varepsilon| = \dfrac{|N\Delta\Phi|}{\Delta t}. Também se pode escrever |\varepsilon| = L\,\dfrac{\Delta I}{\Delta t} (equivalente, porque L=\dfrac{N\Phi}{I}).

Passo 4

Calcular a área de cada espira (explicando contas passo a passo):\n
Raio r=0{,}10\\ \text{m}. A área de uma espira é\n A=\pi r^2=\pi(0{,}10)^2=\pi\times 0{,}01=0{,}01\pi\\ \text{m}^2.

Passo 5

Calcular o campo magnético aproximado produzido pelas N espiras devido à corrente i=20\\ \text{A}:\n
Usamos a fórmula aproximada no centro:\n
B \approx \frac{\mu_0 N I}{2R}.\n
Substituindo valores: \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \text{H/m}, N=20, I=20\\ \text{A}, R=0{,}10\\ \text{m}.\n
Primeiro calculemos \mu_0 N I:\n
\mu_0 N I = (4\pi\times 10^{-7})\times 20\times 20.\n
Fazendo as contas (passo a passo): 20\times 20=400. Então\n \mu_0 N I = 4\pi\times 10^{-7}\times 400 = 1600\pi\times 10^{-7}=1{,}256637\times 10^{-6}\times 400 = 5{,}02655\times 10^{-4}\\ \text{(aprox.)}.\n
Agora dividimos por 2R=0{,}20\\ \text{m}:\n
B \approx \frac{5{,}02655\times 10^{-4}}{0{,}20}=2{,}5132775\times 10^{-3}\\ \text{T}.\n
Arredondando com sentido prático, B\approx 2{,}513\times 10^{-3}\\ \text{T}.

Passo 6

Calcular a variação do fluxo magnético por espira e o fluxo ligado total (a) (passo a passo):\n
Fluxo por espira (variação, já que inicial era zero):\n \Delta\Phi_{\text{por espira}} = B\cdot A.\n
Substituindo os números: B\approx 2{,}5132775\times 10^{-3}\\ \text{T} e A=0{,}01\pi\\ \text{m}^2:\n
\Delta\Phi_{\text{por espira}} \approx 2{,}5132775\times 10^{-3}\times 0{,}01\pi =2{,}5132775\times 10^{-3}\times 0{,}0314159\dots \approx 7{,}90\times 10^{-5}\\ \text{Wb}.\n
Fluxo ligado total (soma nas N espiras):\n \Delta(N\Phi)=N\,\Delta\Phi_{\text{por espira}}=20\times 7{,}90\times 10^{-5}\approx 1{,}58\times 10^{-3}\\ \text{Wb}.\n
Como verificação, a indutância efetiva estimada é\n L=\frac{N\Phi}{I}=\frac{1{,}58\times 10^{-3}}{20}=7{,}90\times 10^{-5}\\ \text{H},\nque é coerente com a ordem de grandeza de pequenas bobinas.

Passo 7

Calcular a força eletromotriz induzida (módulo) quando a variação ocorre em \Delta t=0{,}5\\ \text{s} (b):\n
Usando a lei de Faraday (módulo):\n |\varepsilon|=\frac{|N\Delta\Phi|}{\Delta t}.\n
Substituindo N\Delta\Phi\approx 1{,}58\times 10^{-3}\\ \text{Wb} e \Delta t=0{,}5\\ \text{s}:\n
|\varepsilon|=\frac{1{,}58\times 10^{-3}}{0{,}5}=3{,}16\times 10^{-3}\\ \text{V}.\n
Observação: dá o mesmo resultado usar L\,\dfrac{\Delta I}{\Delta t} porque L\approx 7{,}90\times 10^{-5}\\ \text{H} e \Delta I=20\\ \text{A}, então\n L\frac{\Delta I}{\Delta t}=7{,}90\times 10^{-5}\times\frac{20}{0{,}5}=7{,}90\times 10^{-5}\times 40=3{,}16\times 10^{-3}\\ \text{V}.

Passo 8

Direção e sentido do campo produzido pelas espiras em reação (Lenz) — explicação didática e exemplos (c):\n
  • Princípio de Lenz: a corrente induzida gera um campo magnético que tende a se opor à variação do fluxo que a causou.\n
  • Então o campo produzido pelas espiras aponta no sentido oposto à variação do campo externo que aproximou o ímã.\n
  • Exemplos práticos (para você aplicar na prova):\n - Se o ímã aproximando produz um campo que entra na área das espiras (por exemplo, campo “para dentro do plano”), a variação é um aumento de campo para dentro; a corrente induzida gera um campo para fora (oposição). Nesse caso, usando a regra da mão direita: um campo para fora (em direção ao observador) corresponde a uma corrente no sentido anti-horário (visto de quem está olhando na direção do campo para fora).\n - Se o ímã aproximando produz um campo que sai da área (campo “para fora”), a corrente induzida gera um campo para dentro; então a corrente será no sentido horário (vista do mesmo lado).\n\nEm resumo: o campo produzido pelas espiras tem direção oposta à variação do campo aplicado; o sentido da corrente é aquele dado pela regra da mão direita que produz esse campo oposto (anti-horário para campo saindo, horário para campo entrando — conforme o ponto de vista citado).

Resposta

(a) Variação do fluxo por espira: \Delta\Phi_{\text{por espira}}\approx 7{,}90\times 10^{-5}\\ \text{Wb}. Variação do fluxo ligado total: \Delta(N\Phi)\approx 1{,}58\times 10^{-3}\\ \text{Wb}.\n
(b) Módulo da força eletromotriz induzida: |\varepsilon|\approx 3{,}16\times 10^{-3}\\ \text{V}.\n
(c) Direção/sentido do campo induzido: o campo produzido pelas espiras aponta de modo a se opor à variação do campo aplicado (princípio de Lenz). Ex.: se o campo aplicado está aumentando para dentro da área, o campo induzido será para fora (corrente induzida anti-horária vista do lado do campo induzido para fora); se o aplicado aumenta para fora, o induzido será para dentro (corrente horário).

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