Um imã se aproxima de um solenóide de forma que é aplicado um campo magnético perpendicular à uma área de 20 espiras de raio 10 cm , provocando uma variação do fluxo magnético nesse solenóide. a) Qual a variação do fluxo magnético nesse solenóide se esta ação induz i=20A, considerando que inicialmente não havia corrente nem campo magnético no solenóide? b) Qual o módulo da força eletromotriz induzida no fio das espiras se essa variação de fluxo ocorre em 0,5 s? c) Qual é a direção e sentido do campo produzido pelas espiras em reação a esta ação?
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos (o que o problema pede):\n
- Temos um conjunto de
espiras (ou voltas) com raio .\n - Um ímã se aproxima e aplica um campo magnético perpendicular à área das espiras, provocando uma variação do fluxo magnético.\n
- A ação induz uma corrente elétrica de módulo
no conjunto de espiras.\n - Condição inicial: não havia corrente nem campo magnético no solenóide (isto é, fluxo inicial nulo).\n
Perguntas do enunciado:\n
a) Qual é a variação do fluxo magnético nesse solenóide, dada a corrente induzida?\n
b) Qual o módulo da força eletromotriz induzida no fio das espiras se essa variação de fluxo ocorre em?\n
c) Qual é a direção e o sentido do campo produzido pelas espiras em reação a esta ação (Lenz)?\n
Dados numéricos identificados:(nº de espiras), , , . Nada mais foi dado (por exemplo, comprimento do solenóide ou resistência do fio).
Passo 2
Esclarecimento do método e escolha feita (por que este caminho):\n
O enunciado não dá comprimento do solenóide nem resistência, por isso há ambiguidade se devemos usar a fórmula do indutância de um solenóide longo . Para obter um valor numérico preciso seria necessário
. Para tornar a questão numérica e mantê-la simples, eu vou aproximar o conjunto de
espiras por
voltas circulares muito próximas (um “carretel” pequeno) e usar a fórmula do campo magnético no centro de
espiras circulares coincidentes:\n
O enunciado não dá comprimento do solenóide nem resistência, por isso há ambiguidade se devemos usar a fórmula do indutância de um solenóide longo
onde explico cada coisa no próximo passo. Essa é uma aproximação padrão quando o conjunto de espiras é curto e o campo na região da área pode ser aproximado pelo campo no centro. A vantagem: permite calcular numericamente a variação do fluxo criada pela própria corrente induzida (que é o que força a corrente, por Lenz). Vou explicitar a hipótese para você — se seu professor esperava outro modelo (por exemplo solenóide longo), trocaríamos por
e precisaríamos de
.
Passo 3
Conceitos essenciais e fórmulas que vamos usar (explicação didática):\n
- Fluxo magnético por espira:
, onde é o fluxo através de uma espira (unidade: Weber, ), é a magnitude do campo magnético perpendicular à área (em tesla, ) e é a área da espira (em metros quadrados). Aqui assumimos aproximadamente uniforme sobre a área.\n - Área de uma espira circular de raio
: \n - Para
espiras próximas, o fluxo ligado total (fluxo encadeado) é .\n - Relação entre corrente induzida e fluxo ligado (autoindutância): a indutância efetiva
do conjunto satisfaz . Isso vem do fato de que a corrente nas espiras gera um fluxo próprio ligado às espiras; esse fluxo ligado pode ser escrito como . Aqui vou usar implicitamente essa relação ao calcular o fluxo a partir da corrente.\n - Alternativamente, o campo magnético produzido por
espiras circulares muito próximas, no centro, é aproximadamente\n \nonde é a permeabilidade do vácuo, o número de voltas, a corrente e o raio (aqui ). Vou usar essa fórmula para estimar e, então, .\n - Lei de Faraday (módulo): a força eletromotriz induzida no fio é
. Também se pode escrever (equivalente, porque ).
Passo 4
Calcular a área de cada espira (explicando contas passo a passo):\n
Raio
. A área de uma espira é\n
Passo 5
Calcular o campo magnético aproximado produzido pelas
espiras devido à corrente
:\n
Usamos a fórmula aproximada no centro:\n
Usamos a fórmula aproximada no centro:\n
Substituindo valores:
,
,
,
.\n
Primeiro calculemos :\n
Primeiro calculemos
Fazendo as contas (passo a passo):
. Então\n
\n
Agora dividimos por
:\n
Arredondando com sentido prático,
Passo 6
Calcular a variação do fluxo magnético por espira e o fluxo ligado total (a) (passo a passo):\n
Fluxo por espira (variação, já que inicial era zero):\n
\n
Substituindo os números:
e
:\n
Fluxo ligado total (soma nas
espiras):\n
\n
Como verificação, a indutância efetiva estimada é\n
\nque é coerente com a ordem de grandeza de pequenas bobinas.
Passo 7
Calcular a força eletromotriz induzida (módulo) quando a variação ocorre em
(b):\n
Usando a lei de Faraday (módulo):\n
\n
Substituindo
e
:\n
Observação: dá o mesmo resultado usar
porque
e
, então\n
Passo 8
Direção e sentido do campo produzido pelas espiras em reação (Lenz) — explicação didática e exemplos (c):\n
- Princípio de Lenz: a corrente induzida gera um campo magnético que tende a se opor à variação do fluxo que a causou.\n
- Então o campo produzido pelas espiras aponta no sentido oposto à variação do campo externo que aproximou o ímã.\n
- Exemplos práticos (para você aplicar na prova):\n - Se o ímã aproximando produz um campo que entra na área das espiras (por exemplo, campo “para dentro do plano”), a variação é um aumento de campo para dentro; a corrente induzida gera um campo para fora (oposição). Nesse caso, usando a regra da mão direita: um campo para fora (em direção ao observador) corresponde a uma corrente no sentido anti-horário (visto de quem está olhando na direção do campo para fora).\n - Se o ímã aproximando produz um campo que sai da área (campo “para fora”), a corrente induzida gera um campo para dentro; então a corrente será no sentido horário (vista do mesmo lado).\n\nEm resumo: o campo produzido pelas espiras tem direção oposta à variação do campo aplicado; o sentido da corrente é aquele dado pela regra da mão direita que produz esse campo oposto (anti-horário para campo saindo, horário para campo entrando — conforme o ponto de vista citado).
Resposta
(a) Variação do fluxo por espira:
Variação do fluxo ligado total:
\n
(b) Módulo da força eletromotriz induzida: \n
(c) Direção/sentido do campo induzido: o campo produzido pelas espiras aponta de modo a se opor à variação do campo aplicado (princípio de Lenz). Ex.: se o campo aplicado está aumentando para dentro da área, o campo induzido será para fora (corrente induzida anti-horária vista do lado do campo induzido para fora); se o aplicado aumenta para fora, o induzido será para dentro (corrente horário).
(b) Módulo da força eletromotriz induzida:
(c) Direção/sentido do campo induzido: o campo produzido pelas espiras aponta de modo a se opor à variação do campo aplicado (princípio de Lenz). Ex.: se o campo aplicado está aumentando para dentro da área, o campo induzido será para fora (corrente induzida anti-horária vista do lado do campo induzido para fora); se o aplicado aumenta para fora, o induzido será para dentro (corrente horário).