Imagina que você está no pátio do CETENS com o cabo do carregador de seu telefone enrolado entre os dedos. Imagine que você segura o cabo com sua mão direta, formando um pequeno círculo com os dedos. O seu dedo indicador representa a função f(x), que está com cima. O polegar representa a função h(x), que está por baixo. Dentro desse espaço entre os dedos, está uma parte enrolada do fio do cabo, essa parte representa a função g(x).
À medida que você aproxima os dedos, formando um ponto de contato entre o indicador e o polegar, o círculo se fecha. Esse ponto representa o valor para o qual as três funções se aproximam, ou seja, o limite.
Agora, vamos supor que f(x)=x^2-cos (x) (função superior - dedo indicador) e que h(x)=x^2+cos (x) (função inferior - polegar).
Para todos os valores de x próximo de zero ( com x neq 0 ), temos:
h(x) <= g(x) <= f(x)
A função g(x) está entre as duas, mas não sabemos sua fórmula (e nem é necessário). Com isso, responda:
a) Qual o limite da função f de x, quando x se aproxima de zero.
b) Qual o limite da função h de x , quando x se aproxima de zero.
c) Com base no Teorema do Confronto e também com base na experiência passada dos estudos dos Limites Laterais, responda qual é o limite da função g de x, quando x se aproxima de zero. Justifique sua resposta com base nessas ideias.

Passo 1

O enunciado diz que, para x próximo de zero com xneq0, temos
h(x)<= g(x)<= f(x),
em que foram dadas
f(x)=x^2-cos(x), h(x)=x^2+cos(x)
Pede-se:
  1. limxto0f(x);
  2. limxto0h(x);
  3. Qual é limxto0g(x) usando o Teorema do Confronto.

Passo 2

Para limxto0f(x) aplicamos substituição direta, pois f é contínua em 0:
limxto0f(x) =limxto0l(x^2-cos(x)r) =0^2-cos(0) =-1

Passo 3

Análogo para h:
limxto0h(x) =limxto0l(x^2+cos(x)r) =0^2+cos(0) =1

Passo 4

O Teorema do Confronto (ou Squeeze) diz que se
limxto0h(x)=limxto0f(x)=L e h(x)<= g(x)<= f(x),
então limxto0g(x)=L. Aqui, entretanto,
limxto0h(x)=1 e limxto0f(x)=-1
são diferentes, de modo que não podemos aplicar o Teorema do Confronto para obter um único limite de g(x). Tudo o que podemos garantir é que, se limxto0g(x) existir, ele deve satisfazer
-1<=limxto0g(x)<=1,
mas não há valor único determinado por esse teorema.

Resposta

a) -1
b) 1
c) O limite de g(x) quando xto0 não pode ser determinado pelo Teorema do Confronto, pois as funções que o cercam convergem a valores diferentes.

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