(8 pontos) Calcule a integral de linha integralC x y d s, onde C é o arco de curva, do ponto A= (1,0,0) ao ponto B=(0, pi / 2,1), com parametrização x=cos t, y=t, z=sin t.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralC x,y ,ds
onde C vai de A=(1,0,0) a B=(0,pi/2,1) e é dada por
x=cos t, y=t, z=sin t
O conteúdo aqui é integral de linha de função escalar, precisando expressar ds em função de t.

Passo 2

Para achar os limites em t, note que em A temos
cos t=1,;t=0,;sin t=0;Longrightarrow;t=0,
e em B
cos t=0,;t=pi2,;sin t=1;Longrightarrow;t=pi2
Logo t vai de 0 a pi/2.

Passo 3

Calculamos o elemento de arco ds. Temos
dxdt=-sin t, dydt=1, dzdt=cos t,
então
ds = raizl(-sin tr)^2 + 1^2 + l(cos tr)^2;dt =raizsin^2 t +1+cos^2 t;dt =raiz2;dt

Passo 4

Substituindo na integral,
integralC x,y,ds =integral0^pi/2l(cos tr),(t),l(raiz2r);dt =raiz2integral0^pi/2tcos t;dt

Passo 5

Para computar integral0^pi/2tcos t;dt, usamos integração por partes com
u=t, dv=cos t,dt;Longrightarrow;du=dt,;v=sin t,
ficando
integral tcos t,dt = tsin t - integralsin t,dt = tsin t + cos t + C
Avaliaremos de 0 a pi/2:
l[tsin t + cos tr]0^pi/2 =l(pi2cdot1 + 0r)-l(0cdot0 +1r) =pi2-1
Portanto
integral0^pi/2tcos t,dt = pi2-1 Longrightarrow integralC x,y,ds = raiz2,l(pi2-1r)

Resposta

integralC x,y,ds = raiz2,l(pi2-1r)

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