Utilizando o lado direito da desigualdade do enunciado da questão 2(ln (1+ x) <= x ), a definição de função exponencial e a injetividade da mesma,
temos que e^x >= 1+x, a princípio para x>-1. Mas, logo em seguida, concluímos
e^x >= 1+x, forall x in R
Mostre, através da desigualdade acima e do teorema do confronto,
lim x 0 e^x-1x=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0e^x-1x
usando a desigualdade já obtida
e^x>= 1+x, forall xinR,
e o teorema do confronto (squeeze theorem). Para isso, vamos também obter uma desigualdade complementar que dê um limite superior para e^x.

Passo 2

Derivamos uma segunda desigualdade aplicando e^y>=1+y a y=-x. Como -x>-1 sempre que x<1, temos
e^-x>=1-x
e, invertendo (já que 1-x>0 para x<1),
e^x<=11-x, forall x<1

Passo 3

Agora dividimos as duas desigualdades por x em cada caso, cuidando do sinal de x.
Para x>0:
de e^x>=1+x segue
e^x-1x>=1,
e de e^x<=11-x segue
e^x-1x<=11-x-1x =x(1-x),x =11-x
Logo, para x>0 temos
1<=e^x-1x<=11-x

Passo 4

Para x<0, ao dividir e^x>=1+x por x<0 a desigualdade inverte e obtemos
e^x-1x<=1,
e ao dividir e^x<=11-x por x<0 obtemos
e^x-1x>=11-x-1x =11-x
Assim, para x<0 vale
11-x<=e^x-1x<=1

Passo 5

Note que
limxto01=1 e limxto011-x=1
Pelo teorema do confronto, em ambas as situações ( xto0^+ ou xto0^-), a função e^x-1x é “espremida” entre duas que tendem a 1.

Passo 6

Portanto, o limite bilateral existe e vale
limxto0e^x-1x=1

Resposta

1

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