Utilizando o lado direito da desigualdade do enunciado da questão
), a definição de função exponencial e a injetividade da mesma,
temos que
, a princípio para
. Mas, logo em seguida, concluímos
Mostre, através da desigualdade acima e do teorema do confronto,
temos que
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a desigualdade já obtida
e o teorema do confronto (squeeze theorem). Para isso, vamos também obter uma desigualdade complementar que dê um limite superior para
.
Passo 2
Derivamos uma segunda desigualdade aplicando
a
. Como
sempre que
, temos
e, invertendo (já que
para
),
Passo 3
Agora dividimos as duas desigualdades por
em cada caso, cuidando do sinal de
.
Para
:
de segue
de
e de
segue
Logo, para
temos
Passo 4
Para
, ao dividir
por
a desigualdade inverte e obtemos
e ao dividir
por
obtemos
Assim, para
vale
Passo 5
Note que
Pelo teorema do confronto, em ambas as situações (
ou
), a função
é “espremida” entre duas que tendem a 1.
Passo 6
Portanto, o limite bilateral existe e vale