Imagine que para uma determinada operação na indústria, um vaso de 100 m^3 estivesse sendo preenchido por um fluido com densidade 1000 kg / m^3 escoando para dentro por uma tubulação de raio 0,1 m a uma velocidade de 1 m / s. Supondo que não haja vazamentos, quanto tempo levaria para que se atinja 85 % da capacidade do vaso? Agora Suponha que ao invés de haver apenas entrada do fluido, alguém abriu a válvula de saída do vaso por acidente, provocando a saída do fluido através de uma tubulação com a mesma secção transversal da tubulação de entrada, mas a uma velocidade de 0,6 m / s. Para este segundo caso, quanto tempo levaria para que se atingisse 85 % da capacidade do vaso?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um vaso de 100 m³ sendo preenchido por um fluido (densidade 1000 kg/m³) que entra por uma tubulação de raio 0,1 m a 1 m/s. Primeiro, sem saída, queremos saber quanto tempo leva pra chegar a 85 % (ou seja 85 m³). Depois, abriram uma válvula de saída igualzinha, mas com velocidade de 0,6 m/s, e perguntam de novo o tempo pra atingir os mesmos 85 m³.
Conteúdo: escoamento incompressível, vazão volumétrica, conversão de volume em tempo. Vamos precisar calcular área da seção, vazão (Q = A·v) e depois t = V/Q.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal da tubulação.
A fórmula é
A = pi r^2
Aqui r = 0,1 m, então
A = pi ,(0,1)^2 = 0,01pi;m^2

Passo 3

Calcular a vazão volumétrica de entrada (sem saída).
Vazão é Qin = A;vin
Como vin = 1;m/s,
Qin = 0,01pi times 1 = 0,01pi;m^3/s

Passo 4

Tempo para encher 85 m³ sem saída.
Volume alvo V = 0,85times100 = 85;m^3
Fórmula do tempo:
t1 = VQin = 850,01pi;s = 8500pi;sapprox2704,8;s
Convertendo em minutos: 2704,8;sapprox45,1;min

Passo 5

Calcular a vazão de saída quando a válvula abre.
Velocidade de saída vout=0,6;m/s, mesma área, então
Qout = A,vout = 0,01pitimes0,6 = 0,006pi;m^3/s

Passo 6

Calcular a vazão líquida e o tempo para encher 85 m³ com saída.
Vazão líquida Qnet = Qin - Qout = 0,01pi - 0,006pi = 0,004pi;m^3/s
Então
t2 = 850,004pi;s = 850004pi;s = 21250pi;sapprox6764,3;s,
ou seja cerca de 6764,3;sapprox112,7;min ;(1 h 52,7 min)

Resposta

Tempo sem saída: t1approx2704,8;s;(45,1;min)
Tempo com saída: t2approx6764,3;s;(112,7;min)

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