Uma partícula de 1,75-\mathrm{kg} se move em função do tempo como segue: \mathrm{x}= 4 \cos (1,33 t+\pi / 5) onde a distância é medida em metros e o tempo em segundos.
(a) Qual é a amplitude, frequência, frequência angular e o período deste movimento?
(b) Qual é a equação da velocidade desta partícula?
(c) Qual é a equação da aceleração desta partícula?
(d) Qual é a constante da mola?
(e) Na próxima vez, isto é, em t >0, o objeto estará:
(i). em equilíbrio e se movendo para a direita,
(ii). em equilíbrio e se movendo para a esquerda,
(iii). na amplitude máxima, e
(iv). na amplitude mínima.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede:
  • Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
    • Massa: m=1,75\\ \mathrm{kg}.
    • Lei do movimento: \mathrm{x}(t)=4\cos\!\bigl(1,33\,t+\tfrac{\pi}{5}\bigr), com \mathrm{x} em metros e t em segundos.
  • O enunciado pergunta:
    (a) Qual é a amplitude, a frequência, a frequência angular e o período deste movimento?
    (b) Qual é a equação da velocidade \mathrm{v}(t)?
    (c) Qual é a equação da aceleração \mathrm{a}(t)?
    (d) Qual é a constante da mola k?
    (e) Na próxima vez, isto é, em t>0, o objeto estará: (i) em equilíbrio e se movendo para a direita; (ii) em equilíbrio e se movendo para a esquerda; (iii) na amplitude máxima; (iv) na amplitude mínima. (Escolher qual é a situação que ocorre primeiro para t>0.)

Passo 2

Identificar a amplitude e explicar o que é amplitude.
  • A forma padrão do movimento harmônico simples (MHS) é \mathrm{x}(t)=A\cos(\omega t+\varphi), onde:
    • A é a amplitude (o deslocamento máximo a partir da posição de equilíbrio),
    • \omega é a frequência angular (em rad/s),
    • \varphi é a fase inicial (em rad).
  • Comparando com \mathrm{x}(t)=4\cos\!\bigl(1,33\,t+\tfrac{\pi}{5}\bigr) segue que a amplitude é A=4\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Identificar a frequência angular e explicar seu significado.
  • Na expressão padrão, o coeficiente de t dentro do cosseno é a frequência angular \omega.
  • Do enunciado extraímos \omega = 1,33\\ \mathrm{rad/s}.
  • Significado: \omega diz quão rápido a fase (\omega t+\varphi) varia; relaciona-se com o número de oscilações por segundo.

Passo 4

Calcular a frequência f e explicar a relação com \omega.
  • Relação entre frequência linear f (em Hz) e frequência angular \omega: f=\frac{\omega}{2\pi}.
  • Substituindo \omega=1,33: f=\frac{1,33}{2\pi}\approx 0,212\\ \mathrm{Hz}.
  • Interpretação: o corpo faz cerca de 0,212 voltas completas por segundo.

Passo 5

Calcular o período T e explicar.
  • Período T é o tempo de uma oscilação completa; T=1/f ou T=2\pi/\omega.
  • Usando \omega: T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{1,33}\approx 4,72\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Derivar a velocidade \mathrm{v}(t): regra usada e passo a passo.
  • Regra: derivada de \cos(u(t)) é -\sin(u(t))\cdot u'(t) (isso é a regra da cadeia).
  • Aqui u(t)=1,33\,t+\tfrac{\pi}{5} e u'(t)=1,33.
  • Derivando \mathrm{x}(t)=4\cos(u(t)): \mathrm{v}(t)=\frac{d\mathrm{x}}{dt}=-4\sin\!\bigl(1,33\,t+\tfrac{\pi}{5}\bigr)\cdot 1,33.
  • Multiplicando os coeficientes: \mathrm{v}(t)=-4\cdot 1,33\\ \sin\!\bigl(1,33\,t+\tfrac{\pi}{5}\bigr)\approx -5,32\\ \sin\!\bigl(1,33\,t+\tfrac{\pi}{5}\bigr)\\ \mathrm{m/s}.
  • Observação prática: o sinal negativo mostra que quando \sin(\cdot) é positiva, a velocidade é negativa (movendo-se para a esquerda).

Passo 7

Avaliar \mathrm{v}(0) (útil para a parte (e)) — passo a passo numérico.
  • Em t=0 a fase é \tfrac{\pi}{5}. Assim \mathrm{v}(0)=-4\cdot 1,33\\ \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr).
  • Sabendo que \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{5}\bigr)=\sin(36^\circ)\approx 0,588, \mathrm{v}(0)\approx -4\cdot 1,33\cdot 0,588\approx -3,12\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: no instante t=0 a partícula estava movendo-se para a esquerda (velocidade negativa).

Passo 8

Derivar a aceleração \mathrm{a}(t): regra usada e passo a passo.
  • A aceleração é \mathrm{a}(t)=\dfrac{d\mathrm{v}}{dt}=\dfrac{d^2\mathrm{x}}{dt^2}.
  • Derivando \mathrm{v}(t)=-4\cdot1,33\\ \sin\!\bigl(1,33\,t+\tfrac{\pi}{5}\bigr) aplica-se novamente a regra da cadeia: \mathrm{a}(t)=-4\cdot 1,33\cdot \frac{d}{dt}\left[\sin\!\bigl(1,33\,t+\tfrac{\pi}{5}\bigr)\right] =-4\cdot 1,33\cdot \cos\!\bigl(1,33\,t+\tfrac{\pi}{5}\bigr)\cdot 1,33.
  • Reunindo fatores: \mathrm{a}(t)=-4\cdot(1,33)^2\\ \cos\!\bigl(1,33\,t+\tfrac{\pi}{5}\bigr).
  • Numérico: (1,33)^2\approx 1,7689, logo \mathrm{a}(t)\approx -4\cdot 1,7689\\ \cos\!\bigl(1,33\,t+\tfrac{\pi}{5}\bigr)\approx -7,08\\ \cos\!\bigl(1,33\,t+\tfrac{\pi}{5}\bigr)\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 9

Determinar a constante da mola k e explicar a fórmula usada.
  • Para um sistema massa-mola em MHS ideal, a relação entre \omega, k e m é \omega^2=\frac{k}{m}\quad\Rightarrow\quad k=m\omega^2.
  • Substituindo m=1,75\\ \mathrm{kg} e \omega=1,33\\ \mathrm{rad/s}: k=1,75\cdot(1,33)^2=1,75\cdot 1,7689\approx 3,10\\ \mathrm{N/m}.
  • Interpretação: a mola é bem “mole” — constante relativamente pequena (unidade \mathrm{N/m}).

Passo 10

Responder a letra (e): identificar o primeiro evento que ocorre para t>0 (ou seja, “a próxima vez”).
  • Queremos saber qual das situações (i)–(iv) acontece primeiro depois de t=0.
  • Eventos especiais:
    • Equilíbrio ( \mathrm{x}=0) ocorre quando \cos(\omega t+\varphi)=0, isto é quando a fase \omega t+\varphi=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2},\dots.
    • Amplitude máxima ocorre quando \cos(\omega t+\varphi)=+1 (fase =0,2\pi,\dots).
    • Amplitude mínima ocorre quando \cos(\omega t+\varphi)=-1 (fase =\pi,3\pi,\dots).
  • Determinar o primeiro tempo positivo em que \mathrm{x}=0: 1,33\,t+\tfrac{\pi}{5}=\tfrac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad t=\frac{\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{5}}{1,33}=\frac{3\pi/10}{1,33}.
  • Cálculo numérico: t\approx\frac{0,94248}{1,33}\approx 0,709\\ \mathrm{s}.
  • Nesse instante a fase é \tfrac{\pi}{2}, então \sin(\text{fase})=1. A velocidade é \mathrm{v}=-4\cdot 1,33\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-4\cdot1,33\cdot 1\approx -5,32\\ \mathrm{m/s},ou seja, negativa (movendo-se para a esquerda) ao passar pela posição de equilíbrio.
  • Conclusão: o primeiro evento para t>0 é que a partícula passa pela posição de equilíbrio e está se movendo para a esquerda. Isso corresponde à alternativa (ii).

Resposta

(a) A=4\\ \mathrm{m},\quad \omega=1,33\\ \mathrm{rad/s},\quad f=0,212\\ \mathrm{Hz},\quad T=4,72\\ \mathrm{s}.
(b) \mathrm{v}(t)=-4\cdot 1,33\\ \sin\!\bigl(1,33\,t+\tfrac{\pi}{5}\bigr)\\ \mathrm{m/s}
(c) \mathrm{a}(t)=-4\cdot(1,33)^2\\ \cos\!\bigl(1,33\,t+\tfrac{\pi}{5}\bigr)\\ \mathrm{m/s^2}
(d) k=m\omega^2=1,75\cdot(1,33)^2\approx 3,10\\ \mathrm{N/m}
(e) (ii) em equilíbrio e se movendo para a esquerda.

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