Uma partícula de
se move em função do tempo como segue:
onde a distância é medida em metros e o tempo em segundos.
(a) Qual é a amplitude, frequência, frequência angular e o período deste movimento?
(b) Qual é a equação da velocidade desta partícula?
(c) Qual é a equação da aceleração desta partícula?
(d) Qual é a constante da mola?
(e) Na próxima vez, isto é, em t
, o objeto estará:
(i). em equilíbrio e se movendo para a direita,
(ii). em equilíbrio e se movendo para a esquerda,
(iii). na amplitude máxima, e
(iv). na amplitude mínima.
(a) Qual é a amplitude, frequência, frequência angular e o período deste movimento?
(b) Qual é a equação da velocidade desta partícula?
(c) Qual é a equação da aceleração desta partícula?
(d) Qual é a constante da mola?
(e) Na próxima vez, isto é, em t
(i). em equilíbrio e se movendo para a direita,
(ii). em equilíbrio e se movendo para a esquerda,
(iii). na amplitude máxima, e
(iv). na amplitude mínima.
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e pede:
-
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- Massa:
. - Lei do movimento:
, com em metros e em segundos.
- Massa:
-
O enunciado pergunta:
(a) Qual é a amplitude, a frequência, a frequência angular e o período deste movimento?
(b) Qual é a equação da velocidade?
(c) Qual é a equação da aceleração?
(d) Qual é a constante da mola?
(e) Na próxima vez, isto é, em, o objeto estará: (i) em equilíbrio e se movendo para a direita; (ii) em equilíbrio e se movendo para a esquerda; (iii) na amplitude máxima; (iv) na amplitude mínima. (Escolher qual é a situação que ocorre primeiro para .)
Passo 2
Identificar a amplitude e explicar o que é amplitude.
- A forma padrão do movimento harmônico simples (MHS) é
, onde: -
é a amplitude (o deslocamento máximo a partir da posição de equilíbrio), -
é a frequência angular (em rad/s), -
é a fase inicial (em rad).
-
- Comparando com
segue que a amplitude é
Passo 3
Identificar a frequência angular e explicar seu significado.
- Na expressão padrão, o coeficiente de
dentro do cosseno é a frequência angular . - Do enunciado extraímos
- Significado:
diz quão rápido a fase varia; relaciona-se com o número de oscilações por segundo.
Passo 4
Calcular a frequência
e explicar a relação com
.
- Relação entre frequência linear
(em Hz) e frequência angular : - Substituindo
: - Interpretação: o corpo faz cerca de
voltas completas por segundo.
Passo 5
Calcular o período
e explicar.
- Período
é o tempo de uma oscilação completa; ou . - Usando
:
Passo 6
Derivar a velocidade
: regra usada e passo a passo.
- Regra: derivada de
é (isso é a regra da cadeia). - Aqui
e . - Derivando
: - Multiplicando os coeficientes:
- Observação prática: o sinal negativo mostra que quando
é positiva, a velocidade é negativa (movendo-se para a esquerda).
Passo 7
Avaliar
(útil para a parte (e)) — passo a passo numérico.
- Em
a fase é . Assim - Sabendo que
, - Interpretação: no instante
a partícula estava movendo-se para a esquerda (velocidade negativa).
Passo 8
Derivar a aceleração
: regra usada e passo a passo.
- A aceleração é
. - Derivando
aplica-se novamente a regra da cadeia: - Reunindo fatores:
- Numérico:
, logo
Passo 9
Determinar a constante da mola
e explicar a fórmula usada.
- Para um sistema massa-mola em MHS ideal, a relação entre
, e é - Substituindo
e : - Interpretação: a mola é bem “mole” — constante relativamente pequena (unidade
).
Passo 10
Responder a letra (e): identificar o primeiro evento que ocorre para
(ou seja, “a próxima vez”).
- Queremos saber qual das situações (i)–(iv) acontece primeiro depois de
. - Eventos especiais:
- Equilíbrio (
) ocorre quando , isto é quando a fase . - Amplitude máxima ocorre quando
(fase ). - Amplitude mínima ocorre quando
(fase ).
- Equilíbrio (
- Determinar o primeiro tempo positivo em que
: - Cálculo numérico:
- Nesse instante a fase é
, então . A velocidade é ou seja, negativa (movendo-se para a esquerda) ao passar pela posição de equilíbrio. - Conclusão: o primeiro evento para
é que a partícula passa pela posição de equilíbrio e está se movendo para a esquerda. Isso corresponde à alternativa (ii).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) (ii) em equilíbrio e se movendo para a esquerda.
(b)
(c)
(d)
(e) (ii) em equilíbrio e se movendo para a esquerda.