Imagine que uma esfera em um cíclotron, inicialmente percorrendo uma trajetória circular, sofre um aumento súbito de sua aceleração centrípeta, que dobra de valor instantaneamente. O que acontece com o movimento dessa esfera após esse aumento?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera dentro de um cíclotron que estava se movendo em uma trajetória circular. De repente, a aceleração centrípeta dessa esfera dobra de valor. Nosso objetivo é entender o que muda no movimento dessa esfera após esse aumento súbito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e aceleração centrípeta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é aceleração centrípeta. Quando um objeto se move em círculo, ele precisa de uma força centrípeta para manter essa trajetória. A aceleração centrípeta (
) é dada pela fórmula:
onde:
-
é a velocidade tangencial da esfera -
é o raio da trajetória circular
Passo 3
No exercício, a aceleração centrípeta dobra:
. Isso significa que:
Aqui,
é a nova velocidade após o aumento da aceleração centrípeta.
Passo 4
Sabemos que inicialmente:
Substituindo na equação do Passo 3:
Podemos simplificar eliminando
dos dois lados:
Passo 5
Para encontrar a nova velocidade
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Isso mostra que a velocidade tangencial da esfera aumenta por um fator de
.
Passo 6
Como a velocidade aumentou, vamos ver o que isso implica no movimento da esfera. No cíclotron, a trajetória circular é mantida por meio de campos magnéticos que fornecem a força centrípeta necessária. Com a velocidade aumentando, a esfera tende a se mover mais rapidamente ao longo da sua trajetória circular.
Resposta
Após o aumento súbito da aceleração centrípeta, a velocidade tangencial da esfera passa a ser
vezes maior que a inicial. Ou seja, o movimento da esfera se torna mais rápido, mantendo a trajetória circular com a nova velocidade aumentada.