Imagine que uma esfera em um cíclotron, inicialmente percorrendo uma trajetória circular, sofre um aumento súbito de sua aceleração centrípeta, que dobra de valor instantaneamente. O que acontece com o movimento dessa esfera após esse aumento?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera dentro de um cíclotron que estava se movendo em uma trajetória circular. De repente, a aceleração centrípeta dessa esfera dobra de valor. Nosso objetivo é entender o que muda no movimento dessa esfera após esse aumento súbito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e aceleração centrípeta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é aceleração centrípeta. Quando um objeto se move em círculo, ele precisa de uma força centrípeta para manter essa trajetória. A aceleração centrípeta ( ac) é dada pela fórmula:
ac = v^2r
onde:
  • v é a velocidade tangencial da esfera
  • r é o raio da trajetória circular

Passo 3

No exercício, a aceleração centrípeta dobra: ac' = 2ac. Isso significa que:
2ac = v'^2r
Aqui, v' é a nova velocidade após o aumento da aceleração centrípeta.

Passo 4

Sabemos que inicialmente:
ac = v^2r
Substituindo na equação do Passo 3:
2 ( v^2r ) = v'^2r
Podemos simplificar eliminando r dos dois lados:
2v^2 = v'^2

Passo 5

Para encontrar a nova velocidade v', tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
v' = raiz2v^2 = vraiz2
Isso mostra que a velocidade tangencial da esfera aumenta por um fator de raiz2.

Passo 6

Como a velocidade aumentou, vamos ver o que isso implica no movimento da esfera. No cíclotron, a trajetória circular é mantida por meio de campos magnéticos que fornecem a força centrípeta necessária. Com a velocidade aumentando, a esfera tende a se mover mais rapidamente ao longo da sua trajetória circular.

Resposta

Após o aumento súbito da aceleração centrípeta, a velocidade tangencial da esfera passa a ser raiz2 vezes maior que a inicial. Ou seja, o movimento da esfera se torna mais rápido, mantendo a trajetória circular com a nova velocidade aumentada.

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