Imagine que um material magnético unidimensional possa ser modelado como uma cadeia linear de
spins. Cada spin interage com os seus primeiros vizinhos de tal maneira que a energia do sistema seja
, onde
é o número de paredes de domínio separando regiões de spin
das regiões de spin
. A energia por parede de domínio é
. Considere
e
.
a) Determine de quantas maneiras as
paredes de domínio podem ser arranjadas.
b) Determine a entropia
do sistema contendo
paredes de domínio.
c) Determine a energia interna
como função da temperatura,
.
d) Esboce a função
, indicando os valores de
para
e
.
a)
para
b)
c)
d)
a) Determine de quantas maneiras as
b) Determine a entropia
c) Determine a energia interna
d) Esboce a função
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado descreve um sistema de
spins em cadeia, onde aparecem
paredes de domínio (mudanças de
para
ou vice-versa). Cada parede de domínio tem energia
, de modo que a energia total é
Vamos usar conceitos de combinatória para contar microestados, depois a definição de entropia
e, por fim, a função de partição para obter
.
Passo 2
Para colocar
paredes entre os
laços possíveis (entre os
spins) escolhemos
desses
. Logo o número de maneiras é
Passo 3
A entropia é
Usando
e
e a aproximação de Stirling
, temos
Portanto
Passo 4
Para obter
usamos a função de partição
A energia interna é
Passo 5
Analisando limites:
-
⇒ ⇒ . -
⇒ ⇒ .
O esboço decresce sigmoidal de até .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) ,
Esboço: curva sigmoidal partindo de e tendendo a
.
(b)
(c)
(d)
Esboço: curva sigmoidal partindo de