Imagine que um material magnético unidimensional possa ser modelado como uma cadeia linear de N+1 spins. Cada spin interage com os seus primeiros vizinhos de tal maneira que a energia do sistema seja E=n \varepsilon, onde n é o número de paredes de domínio separando regiões de spin \uparrow das regiões de spin \downarrow. A energia por parede de domínio é \varepsilon. Considere N \gg 1 e n \ll N.
a) Determine de quantas maneiras as n paredes de domínio podem ser arranjadas.
b) Determine a entropia S(E) do sistema contendo n paredes de domínio.
c) Determine a energia interna E como função da temperatura, E(T).
d) Esboce a função E(T), indicando os valores de E para T=0 e T \rightarrow \infty.
a) \Omega(n)=\frac{N!}{n!(N-n)!} \approx\left(\frac{N}{n}\right)^{n} para n \ll N
b) S=k_{B} \ln \Omega \approx k_{B} n[\ln (N / n)-1]
c) E=\frac{N \varepsilon}{1+e^{\varepsilon / k_{B} T}}
d) E(0)=0, E(\infty)=N \varepsilon / 2

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de N+1 spins em cadeia, onde aparecem n paredes de domínio (mudanças de \uparrow para \downarrow ou vice-versa). Cada parede de domínio tem energia \varepsilon, de modo que a energia total é
E = n\,\varepsilon.
Vamos usar conceitos de combinatória para contar microestados, depois a definição de entropia S=k_B\ln\Omega e, por fim, a função de partição para obter E(T).

Passo 2

Para colocar n paredes entre os N laços possíveis (entre os N+1 spins) escolhemos n desses N. Logo o número de maneiras é
\Omega(n) = \binom{N}{n} = \frac{N!}{n!\,(N-n)!}.

Passo 3

A entropia é
S = k_B \ln \Omega(n) \;=\; k_B \ln\!\bigl[\tfrac{N!}{n!\,(N-n)!}\bigr].
Usando N\gg1 e n\ll N e a aproximação de Stirling \ln n!\approx n\ln n - n, temos
\ln\Omega \approx N\ln N - (N-n)\ln(N-n) - (n\ln n - n) \approx n\ln N - n\ln n + n = n\bigl[\ln\!\tfrac{N}{n}+1\bigr].
Portanto
S \approx k_B\,n\bigl[\ln\tfrac{N}{n}+1\bigr].

Passo 4

Para obter E(T) usamos a função de partição
Z = \sum_{n=0}^{N}\binom{N}{n}e^{-\beta n\varepsilon} = \bigl(1+e^{-\beta\varepsilon}\bigr)^{N},\quad \beta=\tfrac{1}{k_B T}.
A energia interna é
E = -\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta} = -\frac{\partial}{\partial\beta}\bigl[N\ln(1+e^{-\beta\varepsilon})\bigr] = N\,\frac{\varepsilon\,e^{-\beta\varepsilon}}{1+e^{-\beta\varepsilon}} = \frac{N\varepsilon}{e^{\beta\varepsilon}+1}.

Passo 5

Analisando limites:
  • T\to0 \beta\to\infty e^{\beta\varepsilon}\to\infty E\to0.
  • T\to\infty \beta\to0 e^{\beta\varepsilon}\approx1 E\to N\varepsilon/2.
    O esboço de E(T) cresce sigmoidal de 0 até N\varepsilon/2.

Resposta

(a) \displaystyle \Omega(n)=\binom{N}{n}=\frac{N!}{n!\,(N-n)!}.
(b) \displaystyle S=k_B\ln\Omega\approx k_B\,n\bigl[\ln\tfrac{N}{n}+1\bigr].
(c) \displaystyle E(T)=\frac{N\varepsilon}{e^{\varepsilon/(k_B T)}+1}.
(d) E(0)=0, \displaystyle E(\infty)=\frac{N\varepsilon}{2}.
Esboço: curva sigmoidal partindo de 0 e tendendo a N\varepsilon/2.

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