Uma pequena caixa é colocada 2,0 \mathrm{~m} abaixo da superfície livre da água límpida de um lago. Um disco opaco é colocado sobre a água de forma que seu centro fica situado na vertical que passa pela caixa. Qual deve ser o raio mínimo do disco para impedir a visão da caixa? Dados: o índice de refração da água é igual a \frac{4}{3} e o do ar é igual a 1 .
\text { Resposta: } \mathrm{R}=\frac{6 \sqrt{7}}{7} m \cong 2,3 m

Passo 1

O enunciado coloca uma caixa a 2{,}0\\ \mathrm{m} abaixo da superfície de um lago e pede o raio mínimo R de um disco na superfície que impeça qualquer raio proveniente da caixa de emergir para o ar. Como a água tem índice n_{\rm água}=4/3á e o ar tem n_{\rm ar}=1, só emergirão para o ar os raios cujo ângulo de incidência na superfície seja menor que o ângulo crítico. Vamos usar o critério de intensidade de Snell e a geometria da projeção desse cone de saída.

Passo 2

Pelo critério de Snell, o ângulo crítico \theta_c satisfaz
\sin(\theta_c)\;=\;\frac{n_{\rm ar}}{n_{\rm água}} \;=\;\frac{1}{4/3} \;=\;\frac{3}{4}.á

Passo 3

Para relacionar a abertura do cone de saída à projeção horizontal, calculamos
\tan(\theta_c) \;=\; \frac{\sin(\theta_c)}{\sqrt{1-\sin^2(\theta_c)}} \;=\; \frac{\tfrac{3}{4}}{\sqrt{1-\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^2}} \;=\; \frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{\sqrt7}{4}} \;=\; \frac{3}{\sqrt7}.

Passo 4

Na superfície, os raios que escapam formam um círculo de raio R tal que
R \;=\; h\,\tan(\theta_c),
onde h=2{,}0\\ \mathrm{m}. Logo
R \;=\; 2 \times \frac{3}{\sqrt7} \;=\; \frac{6}{\sqrt7} \;=\; \frac{6\sqrt7}{7}\\ \mathrm{m} \;\approx\;2{,}3\\ \mathrm{m}.

Resposta

R \;=\;\frac{6\sqrt7}{7}\\ \mathrm{m}\approx2{,}3\\ \mathrm{m}.

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