Use o teste do termo de ordem n para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
sumn=1^infty n sen 1n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usarmos o teste do termo de ordem para verificar se a série diverge ou se precisamos investigar mais a fundo. Vamos precisar saber o que é o teste do termo e como aplicá-lo.

Passo 2

Primeiro, o teste do termo nos ajuda a verificar se uma série pode convergir. A ideia é simples: se o limite do termo geral da série não for zero, a série diverge. Ou seja, se , a série diverge.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da nossa série: . Precisamos calcular o limite desse termo quando limn to infty n cdot sen(1n) tende ao infinito:

Passo 4

Sabemos que quando sen(1n) approx 1n é pequeno, . Então, para n cdot sen(1n) approx n cdot 1n = 1 pequeno (quando limn to infty n cdot sen(1n) = 1 é grande), temos:
Substituindo na expressão do termo:
Então:

Resposta

Como o limite do termo geral é diferente de zero ( ), pela regra do teste do termo, a série diverge.

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