Um método experimental para medir a condutividade térmica de um material isolante consiste em construir uma caixa com esse material e medir a potência fornecida por um aquecedor elétrico no interior da caixa. Esse aquecedor mantém o interior da caixa a uma temperatura acima da temperatura da superficie externa. Suponha que esse dispositivo precise de uma potência de 180 W para manter a superfície interna da caixa a 65^{\circ} \mathrm{C} acima da temperatura da superfície externa. A área total da caixa é igual a 2,18 \mathrm{~m}^{2} e a parede possui espessura de 3,9 \mathrm{~cm}. Calcule a condutividade térmica do material em unidades SI.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede calcular a condutividade térmica do material (valor escalar k em unidades SI).
  • Dados fornecidos:
    • Potência necessária para manter o interior mais quente: \dot{Q}=180\\ \mathrm{W}.
    • Diferença de temperatura entre superfície interna e externa: \Delta T=65^\circ\mathrm{C}.
    • Área total da caixa: A=2,18\\ \mathrm{m}^2.
    • Espessura da parede (distância atravessada pelo calor): L=3,9\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Entendendo a física e a fórmula que vamos usar (aula curta e direta).
  • Em regime estacionário e assumindo condução unidimensional através da parede plana, a taxa de calor fornecida pelo aquecedor é dada pela lei de Fourier em forma integral simples:
\dot{Q}=k\,A\frac{\Delta T}{L}.
  • Aqui \dot{Q} é a potência térmica (energia por tempo) em \mathrm{W}.
  • k é a condutividade térmica que queremos encontrar, em \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
  • A é a área através da qual o calor atravessa, em \mathrm{m}^2.
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre as superfícies (em K ou °C, pois diferenças são equivalentes).
  • L é a espessura da parede, em \mathrm{m}.
  • Rearranjando para isolar k, obtemos:
k=\frac{\dot{Q}\,L}{A\,\Delta T}.
Vou usar exatamente essa fórmula para calcular k.

Passo 3

Conversões de unidades e observações sobre \Delta T.
  • Converter a espessura para metros (SI):
L=3,9\\ \mathrm{cm}=0,039\\ \mathrm{m}.
  • A diferença de temperatura \Delta T=65^\circ\mathrm{C} pode ser usada como \Delta T=65\\ \mathrm{K} (diferenças de temperatura em °C e K são numericamente iguais).
  • Reescrevendo os demais dados em notação matemática:
\dot{Q}=180\\ \mathrm{W},\qquad A=2,18\\ \mathrm{m}^2,\qquad \Delta T=65\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Substituição numérica na fórmula e cálculo passo a passo.
  • Primeiro calcule o numerador \dot{Q}\,L:
\dot{Q}\,L = 180\\ \mathrm{W}\times 0,039\\ \mathrm{m}=7,02\\ \mathrm{W\cdot m}.
  • Em seguida calcule o denominador A\,\Delta T:
A\,\Delta T = 2,18\\ \mathrm{m}^2\times 65\\ \mathrm{K}=141,7\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
  • Agora divida para obter k:
k=\frac{7,02}{141,7}\\ \frac{\mathrm{W\cdot m}}{\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}}.

Passo 5

Cálculo final e verificação de unidades.
  • Efetuando a divisão:
k\approx 0,0496\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
  • Verificação de unidades: \dfrac{\mathrm{W\cdot m}}{\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}}=\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}, que é a unidade correta para condutividade térmica. Tudo coerente.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo.
  • O valor encontrado indica que o material é um bom isolante (condutividades típicas de isolantes são da ordem de 10^{-2} a 10^{-1}\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}). Ótimo — você conseguiu seguir a dedução física e a conta passo a passo. Força que isso cai em prova com frequência!

Resposta

k=0,0496\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}

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