Um cristal de cloreto de potássio (\mathrm{KCl}) é cortado de modo que as camadas de planos atômicos paralelas à sua superfície têm um espaçamento de 314 pm entre as linhas de átomos adjacentes. Um feixe eletrônico de 380 eV incide paralelamente à normal sobre a superfície do cristal. Calcule os ângulos \varphi em que o detector deve ser posicionado para registrar fortes feixes difratados de todas as ordens presentes.

Passo 1

O enunciado dá um cristal de KCl com espaçamento entre planos atômicos d=314\\ \text{pm} e um feixe de elétrons de energia E=380\\ \text{eV} incidindo perpendicularmente. Queremos achar os ângulos \varphi que satisfazem as máximas de difração. O conteúdo envolve o comprimento de onda de de Broglie para elétrons e a lei de Bragg para reflexão em planos cristalinos.

Passo 2

Para usar a lei de Bragg precisamos da \lambda dos elétrons. Primeiro convertemos a energia para joules e aplicamos
p = \sqrt{2\,m\,E},\quad \lambda = \frac{h}{p}.
Com E = 380\times1,602\times10^{-19}\\ \text{J}, m=9,109\times10^{-31}\\ \text{kg} e h=6,626\times10^{-34}\\ \text{J\cdots}, obtém-se
\lambda \approx 6,3\times10^{-11}\\ \text{m} = 63\\ \text{pm}.

Passo 3

A lei de Bragg em reflexões rasantes (ângulo medido a partir da normal) é
2\,d\,\sin\varphi = n\,\lambda,\quad n=1,2,3,\dots
Isolando \sin\varphi:
\sin\varphi = \frac{n\,\lambda}{2\,d}.

Passo 4

Como \sin\varphi\le1, devemos ter
n \le \frac{2\,d}{\lambda} \approx \frac{2\times314}{63}\approx9{,}97.
Logo as ordens possíveis são n=1,2,\dots,9.

Passo 5

Calculamos \phi_n = \arcsin\bigl(n\lambda/(2d)\bigr) para n=1 até 9, em graus:
\begin{aligned} \phi_1&\approx\arcsin(0{,}1003)\approx5{,}76^\circ,\\\ \phi_2&\approx11{,}54^\circ,\\\ \phi_3&\approx17{,}52^\circ,\\\ \phi_4&\approx23{,}62^\circ,\\\ \phi_5&\approx30{,}06^\circ,\\\ \phi_6&\approx37{,}04^\circ,\\\ \phi_7&\approx44{,}58^\circ,\\\ \phi_8&\approx53{,}48^\circ,\\\ \phi_9&\approx64{,}38^\circ. \end{aligned}

Resposta

\phi_1\approx5,76^\circ \phi_2\approx11,54^\circ \phi_3\approx17,52^\circ \phi_4\approx23,62^\circ \phi_5\approx30,06^\circ \phi_6\approx37,04^\circ \phi_7\approx44,58^\circ \phi_8\approx53,48^\circ \phi_9\approx64,38^\circ

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