Imagine um sistema constituido por 2 mols de \mathrm{CO}_{2}, a 25^{\circ} \mathrm{C}, confinados num cilindro de seçăo reta uniforme de 100 \mathrm{~cm}^{2}, a 10 atm . O gás se expande até o pistăo se deslocar 0.2 m . Calcule:
W, Q e \Delta U considerando uma expansão adiabática
Dados: \mathrm{C}_{\mathrm{pm}}=37,12 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1}.

Passo 1

Temos 2 mols de \mathrm{CO}_2 a T_1=25^\circ\mathrm{C}=298\\ \mathrm{K}, confinados a p_1=10\\ \mathrm{atm} num cilindro de área da seção A=100\\ \mathrm{cm}^2=1{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^2. O pistão desloca-se \Delta x=0{,}20\\ \mathrm{m}, de modo que o gás sofre expansão adiabática reversível. Queremos o trabalho W feito pelo gás, o calor Q trocado e a variação de energia interna \Delta U. Para isso vamos usar
– a primeira lei: \Delta U = Q - W
– para adiabática reversível: Q=0 e pV^\gamma=\text{const} ou T V^{\gamma-1}=\text{const}
– as capacidades molares: C_{p\mathrm m} dado e C_{v\mathrm m}=C_{p\mathrm m}-R.

Passo 2

Calcula-se o aumento de volume \Delta V e os volumes inicial e final:
\Delta V = A\,\Delta x = (1{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^2)(0{,}20\\ \mathrm{m}) =2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
A pressão em pascal é p_1=10\times1{,}013\times10^5\\ \mathrm{Pa}=1{,}013\times10^6\\ \mathrm{Pa}.
V_1=\frac{nR T_1}{p_1} =\frac{(2)(8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\,K)})(298\\ \mathrm{K})}{1{,}013\times10^6\\ \mathrm{Pa}} \approx4{,}90\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3,
V_2=V_1+\Delta V\approx4{,}90\times10^{-3}+2{,}0\times10^{-3} =6{,}90\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 3

Calcula-se
C_{v\mathrm m}=C_{p\mathrm m}-R =37{,}12-8{,}314=28{,}806\\ \mathrm{J/(mol\,K)},
e o coeficiente adiabático
\gamma=\frac{C_{p\mathrm m}}{C_{v\mathrm m}} =\frac{37{,}12}{28{,}806}\approx1{,}289.

Passo 4

Usa-se a relação adiabática T_2 = T_1\,(V_1/V_2)^{\gamma-1}. Aqui \gamma-1\approx0{,}289,
\frac{V_1}{V_2}=\frac{4{,}90\times10^{-3}}{6{,}90\times10^{-3}}\approx0{,}710,
T_2=298\,(0{,}710)^{0{,}289}\approx298\times0{,}906=270\\ \mathrm{K}\quad(\text{aprox.}).

Passo 5

Como Q=0, da primeira lei \Delta U=-W.
Calcula-se \Delta U por
\Delta U = n\,C_{v\mathrm m}\,(T_2-T_1) =2\times28{,}806\,(270-298) \approx57{,}612\times(-28) \approx-1{,}61\times10^3\\ \mathrm{J}.
Assim
Q=0,\quad W=-\Delta U\approx+1{,}61\times10^3\\ \mathrm{J}.

Resposta

W\approx1{,}61\times10^3\\ \mathrm{J},\quad Q=0,\quad \Delta U\approx-1{,}61\times10^3\\ \mathrm{J}.

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