Imagine que você esteja projetando uma linha de transmissão desde a usina de Itaipu, no rio Paraná, entre o Brasil e o Paraguai, para a cidade de São Paulo. A linha de transmissão tem 800 km de comprimento e transmite 6300 MW de potência a uma diferença de potencial de 1,20 MV ( M denota Mega=10^6 ). A companhia elétrica exige que não mais de 25 % da potência seja perdida na transmissão. Se a linha consiste em um fio de cobre, de secção transversal circular, qual deve ser o diâmetro mínimo do fio?

Passo 1

O enunciado dá uma linha de transmissão de comprimento 800:km que deve transmitir 6300:MW com tensão de 1,20:MV, usando fio de cobre (resistividade rhoapprox1,7times10^-8:Omegacdotm). A perda máxima permitida é de 25% da potência transmitida.
Conteúdo: leis de Ohm, potência dissipada em resistor e definição de resistividade. Vamos precisar de
  1. Cálculo da corrente transmitida.
  2. Determinar a resistência máxima que produz até 25% de perda.
  3. Usar R=rho,L/A para achar a área A.
  4. Converter área em diâmetro de seção circular.

Passo 2

A corrente na linha vem de
I=PV
onde P=6300:MW e V=1,20:MV. Logo,
I=6300times10^61,20times10^6=5250:A

Passo 3

A potência máxima dissipada é
Ploss,max=0,25;P=0,25times6300:MW=1575:MW
Como Ploss=I^2R, a resistência total máxima vale
Rmax=Ploss,maxI^2 =1575times10^6(5250)^2approx57,14:Omega

Passo 4

Para um circuito completo precisamos do vai-e-volta, isto é comprimento total
,Lrm total=2times800:km=1,6times10^6:m
Da definição de resistividade,
R=rho,Lrm totalA Longrightarrow A=rho,Lrm totalRmax =1,7times10^-8times1,6times10^657,14 approx4,76times10^-4:m^2

Passo 5

Como A=pi d^2/4, o diâmetro mínimo é
d=raiz4Api =raiz4times4,76times10^-4pi approx2,46times10^-2:m =2,46:cm

Resposta

O diâmetro mínimo do fio deve ser cerca de 2,5:cm.

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