(IME 2023/2024) Seja i tal que i^{2}=-1. Seja A dado pela equação
A=\sum_{n=1}^{1000}\left[(i)^{2 n-2} \ln \left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{(-1)^{n-1}}\right] .
O valor de e^{-A} é:
(A) 250
(B) 500
(C) 501
(D) 1000
(E) 1001

Passo 1

O enunciado define
A = \sum_{n=1}^{1000}\Bigl[(i)^{2n-2}\,\ln\bigl(\tfrac{n+1}{n+2}\bigr)^{(-1)^{n-1}}\Bigr]
onde i^2=-1, e pede o valor de e^{-A}.
Conteúdo: manipulação de potências de i, propriedades de logaritmo e soma telescópica.

Passo 2

Note que
i^{2n-2} = \bigl(i^2\bigr)^{\,n-1} = (-1)^{\,n-1},
e também, para qualquer base x,
\ln\bigl(x^{(-1)^{n-1}}\bigr) = (-1)^{\,n-1}\,\ln(x).
Logo o termo geral vira
(i)^{2n-2}\,\ln\bigl(\tfrac{n+1}{n+2}\bigr)^{(-1)^{n-1}} = (-1)^{n-1}\,\bigl[(-1)^{n-1}\,\ln\!\bigl(\tfrac{n+1}{n+2}\bigr)\bigr] = \ln\!\bigl(\tfrac{n+1}{n+2}\bigr).

Passo 3

Portanto
A = \sum_{n=1}^{1000} \ln\!\bigl(\tfrac{n+1}{n+2}\bigr) = \ln\!\Bigl(\prod_{n=1}^{1000}\tfrac{n+1}{n+2}\Bigr).

Passo 4

O produto telescópico é
\prod_{n=1}^{1000}\frac{n+1}{n+2} = \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{5}\cdots\frac{1001}{1002} = \frac{2}{1002} = \frac{1}{501}.
Então
A = \ln\!\bigl(\tfrac1{501}\bigr) = -\ln(501).

Passo 5

Calculando
e^{-A} = e^{-(-\ln(501))} = e^{\ln(501)} = 501.

Resposta

(C) 501

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