(ITA 2023) Dado z=5-5 i \in \mathbb{C}, definimos f(n)=\left|z^{2 n+1}+(\bar{z})^{2 n+1}\right|, para cada n \in \mathbb{N}. A soma de f(n) para n de 1 até 20 é \begin{aligned} & \mathrm{A}(\quad) 250\left(50^{21}-1\right) / 49 \\ & \mathrm{~B}(\quad) 500 \sqrt{2}\left(50^{20}-1\right) / 49 \\ & \mathrm{C}(\quad) 1000\left(50^{21}-1\right) / 49 \\ & \mathrm{D}(\quad) 500\left(50^{20}-1\right) / 49 \\ & \mathrm{E}(\quad) \text { nenhuma das alternativas anteriores. } \end{aligned} Passo 1O enunciado dá z = 5 - 5\,i e define f(n) = \bigl|z^{2n+1} + (\bar z)^{2n+1}\bigr| para n\in\mathbb{N}, e pede a soma \sum_{n=1}^{20}f(n). Vamos usar forma polar de z, identidade de Euler e soma de progressão geométrica. Passo 2Escrevendo z em coordenadas polares, temos r = |z| e \varphi = \arg z, de modo que z = r\,e^{i\varphi}, \quad \bar z = r\,e^{-i\varphi}. Logo z^{2n+1} + (\bar z)^{2n+1} = r^{2n+1}e^{i(2n+1)\varphi} + r^{2n+1}e^{-i(2n+1)\varphi} = 2\,r^{2n+1}\cos\bigl((2n+1)\varphi\bigr), e portanto f(n) = \bigl|2\,r^{2n+1}\cos\bigl((2n+1)\varphi\bigr)\bigr| = 2\,r^{2n+1}\bigl|\cos\bigl((2n+1)\varphi\bigr)\bigr|. Passo 3Para z=5-5\,i temos r = \sqrt{5^2+(-5)^2} = 5\sqrt2, \quad \varphi = -\frac\pi4. Então (2n+1)\varphi = -(2n+1)\pi/4 e \bigl|\cos\bigl((2n+1)\varphi\bigr)\bigr| = \bigl|\cos\bigl((2n+1)\pi/4\bigr)\bigr| = \frac{\sqrt2}{2} pois (2n+1)\bmod8\in\{1,3,5,7\}. Substituindo em f(n): f(n) = 2\,(5\sqrt2)^{2n+1}\,\frac{\sqrt2}{2} = (5\sqrt2)^{2n+1}\,\sqrt2. Passo 4Simplificando (5\sqrt2)^{2n+1}\sqrt2: (5\sqrt2)^{2n+1}\sqrt2 =5^{2n+1}(\sqrt2)^{2n+1}\sqrt2 =5^{2n+1}(\sqrt2)^{2n+2} =5^{2n+1}\,2^{\,n+1} =10\cdot50^n. Logo f(n)=10\cdot50^n. Passo 5A soma pedida é \sum_{n=1}^{20}f(n) =10\sum_{n=1}^{20}50^n =10\;\frac{50\bigl(50^{20}-1\bigr)}{50-1} =500\,\frac{50^{20}-1}{49}. Passo 6O resultado coincide com a alternativa D. RespostaD MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosMostre que: Se \left|z_{1}\right|<1 e \left|z_{2}\right|<1, então \left|z_{1}+z_{2}\right|<\left|1+\overline{z_{1}} z_{2}\right|. Mostre que: \left|z_{1}+z_{2}+\ldots+z_{n}\right| \leq\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\ldots+\left|z_{n}\right|, para quaisquer z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n} \in \mathbb{C}. (ITA 2023) Dado z=5-5 i \in \mathbb{C}, definimos f(n)=\left|z^{2 n+1}+(\bar{z})^{2 n+1}\right|, para cada n \in \mathbb{N}. A soma de f(n) para n de 1 até 20 é \begin{aligned} & \mathrm{A}(\quad) 250\left(50^{21}-1\right) / 49 \\ & \mathrm{~B}(\quad) 500 \sqrt{2}\left(50^{20}-1\right) / 49 \\ & \mathrm{C}(\quad) 1000\left(50^{21}-1\right) / 49 \\ & \mathrm{D}(\quad) 500\left(50^{20}-1\right) / 49 \\ & \mathrm{E}(\quad) \text { nenhuma das alternativas anteriores. } \end{aligned} (IME 2023/2024) Seja i tal que i^{2}=-1. Seja A dado pela equação A=\sum_{n=1}^{1000}\left[(i)^{2 n-2} \ln \left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{(-1)^{n-1}}\right] . O valor de e^{-A} é: (A) 250 (B) 500 (C) 501 (D) 1000 (E) 1001