(IME) Resolva: \left\{\begin{array}{l}(1-\mathrm{i}) \mathrm{Z}_{1}+\mathrm{Z}_{2}=\mathrm{i} \\\\ 2 \mathrm{Z}_{1}+(1-\mathrm{i}) \mathrm{Z}_{2}=0\end{array}\right., onde \mathrm{Z}_{1} e \mathrm{Z}_{2} são números complexos de partes reais iguais:
R:
e impõe a condição extra de que as partes reais de \mathrm{Z}_{1} e \mathrm{Z}_{2} são iguais.
Pergunta: existe algum par (\mathrm{Z}_{1},\mathrm{Z}_{2}) que satisfaça simultaneamente o sistema e a condição “partes reais iguais”? Se sim, determinar esses números complexos; se não, concluir que não existe solução.]
Passo 2
Vamos escrever as incógnitas separando parte real e imaginária. Como as partes reais são iguais, ponho a parte real comum x e as partes imaginárias possivelmente diferentes y e t:
onde x,y,t\in\mathbb{R}.
Explicação rápida: qualquer número complexo pode ser escrito como parte real mais \mathrm{i} vezes a parte imaginária; aqui usamos a mesma parte real x porque a condição do enunciado exige isso.
Passo 3
Vamos calcular os produtos com 1-\mathrm{i}. Multiplicando complexos:
Estas contas mostram como separar parte real e imaginária ao multiplicar por 1-\mathrm{i}.
Passo 4
Substituímos as expressões no sistema original e separamos partes real e imaginária (igualdade de números complexos equivale a igualdade das partes reais e das partes imaginárias). Da primeira equação
Agora verificamos se esses valores satisfazem também a equação (\mathrm{D}) (precisamos satisfazer todas as equações reais ao mesmo tempo). Calculamos o lado esquerdo de (\mathrm{D}):
Portanto a equação (\mathrm{D}) não é satisfeita: obtivemos uma contradição. Isso significa que não existe tripla (x,y,t) que satisfaça simultaneamente (\mathrm{A}),(\mathrm{B}),(\mathrm{C}),(\mathrm{D}).
Passo 7
Interpretação final: a contradição indica que não existe par (\mathrm{Z}_{1},\mathrm{Z}_{2}) com partes reais iguais que satisfaça o sistema dado. Como verificação alternativa, podemos resolver o sistema complexo sem impor a condição das partes reais iguais (por exemplo por regra de Cramer) e encontramos a solução única
cuja parte real de \mathrm{Z}_{1} é -\tfrac{1}{2} e a de \mathrm{Z}_{2} é \tfrac{1}{2} — claramente diferentes, confirmando que a condição “partes reais iguais” não é compatível com o sistema.
Resposta
Não existe solução: não há \mathrm{Z}_{1},\mathrm{Z}_{2} com partes reais iguais que satisfaçam o sistema.