(IME) Resolva: \left\{\begin{array}{l}(1-\mathrm{i}) \mathrm{Z}_{1}+\mathrm{Z}_{2}=\mathrm{i} \\\\ 2 \mathrm{Z}_{1}+(1-\mathrm{i}) \mathrm{Z}_{2}=0\end{array}\right., onde \mathrm{Z}_{1} e \mathrm{Z}_{2} são números complexos de partes reais iguais:
R:

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} (1-\mathrm{i})\,\mathrm{Z}_{1}+\mathrm{Z}_{2}=\mathrm{i}\\[4pt] 2\,\mathrm{Z}_{1}+(1-\mathrm{i})\,\mathrm{Z}_{2}=0 \end{cases}
e impõe a condição extra de que as partes reais de \mathrm{Z}_{1} e \mathrm{Z}_{2} são iguais.
Pergunta: existe algum par (\mathrm{Z}_{1},\mathrm{Z}_{2}) que satisfaça simultaneamente o sistema e a condição “partes reais iguais”? Se sim, determinar esses números complexos; se não, concluir que não existe solução.]

Passo 2

Vamos escrever as incógnitas separando parte real e imaginária. Como as partes reais são iguais, ponho a parte real comum x e as partes imaginárias possivelmente diferentes y e t:
\mathrm{Z}_{1}=x+\mathrm{i}y,\qquad \mathrm{Z}_{2}=x+\mathrm{i}t,
onde x,y,t\in\mathbb{R}.
Explicação rápida: qualquer número complexo pode ser escrito como parte real mais \mathrm{i} vezes a parte imaginária; aqui usamos a mesma parte real x porque a condição do enunciado exige isso.

Passo 3

Vamos calcular os produtos com 1-\mathrm{i}. Multiplicando complexos:
(1-\mathrm{i})(x+\mathrm{i}y)=x+\mathrm{i}y-\mathrm{i}x-\mathrm{i}^2y.
Como \mathrm{i}^2=-1, temos -\mathrm{i}^2y=+y. Portanto
(1-\mathrm{i})(x+\mathrm{i}y)=(x+y)+\mathrm{i}(y-x).
De modo idêntico, usando t no lugar de y,
(1-\mathrm{i})(x+\mathrm{i}t)=(x+t)+\mathrm{i}(t-x).
Estas contas mostram como separar parte real e imaginária ao multiplicar por 1-\mathrm{i}.

Passo 4

Substituímos as expressões no sistema original e separamos partes real e imaginária (igualdade de números complexos equivale a igualdade das partes reais e das partes imaginárias). Da primeira equação
(1-\mathrm{i})\mathrm{Z}_{1}+\mathrm{Z}_{2}=\mathrm{i}
obtemos, usando os resultados do passo anterior,
\big[(x+y)+x\big]+\mathrm{i}\big[(y-x)+t\big]=0+\mathrm{i}\cdot 1.
Comparando partes reais e imaginárias dá o par de equações reais
2x+y=0 \qquad\text{(A)}
y-x+t=1 \qquad\text{(B)}
Da segunda equação
2\mathrm{Z}_{1}+(1-\mathrm{i})\mathrm{Z}_{2}=0
temos, calculando 2\mathrm{Z}_{1}=2x+\mathrm{i}2y e somando a (1-\mathrm{i})\mathrm{Z}_{2},
\big[2x+(x+t)\big]+\mathrm{i}\big[2y+(t-x)\big]=0+\mathrm{i}\cdot 0.
Comparando partes reais e imaginárias dá
3x+t=0 \qquad\text{\text{(C)}}
2y+t-x=0 \qquad\text{(D)}
Assim reduzimos o problema a um sistema real de quatro equações (\mathrm{A}),(\mathrm{B}),(\mathrm{C}),(\mathrm{D}) nas três incógnitas x,y,t.

Passo 5

Resolvendo parcialmente por substituição: da equação (\mathrm{C}) temos
t=-3x.
Da equação (\mathrm{A}) temos
y=-2x.
Substituindo y e t em (\mathrm{B}):
y-x+t = (-2x)-x+(-3x) = -6x = 1,
logo
x=-\tfrac{1}{6}.
Então
y=-2x = -2\big(-\tfrac{1}{6}\big)=\tfrac{1}{3}, \qquad t=-3x = -3\big(-\tfrac{1}{6}\big)=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Agora verificamos se esses valores satisfazem também a equação (\mathrm{D}) (precisamos satisfazer todas as equações reais ao mesmo tempo). Calculamos o lado esquerdo de (\mathrm{D}):
2y+t-x = 2\cdot\Big(\tfrac{1}{3}\Big)+\tfrac{1}{2}-\Big(-\tfrac{1}{6}\Big).
Fazendo as contas: 2\cdot \tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3}. Somando \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{6}=\tfrac{2}{3}. Então
2y+t-x=\tfrac{2}{3}+\tfrac{2}{3}=\tfrac{4}{3}\neq 0.
Portanto a equação (\mathrm{D}) não é satisfeita: obtivemos uma contradição. Isso significa que não existe tripla (x,y,t) que satisfaça simultaneamente (\mathrm{A}),(\mathrm{B}),(\mathrm{C}),(\mathrm{D}).

Passo 7

Interpretação final: a contradição indica que não existe par (\mathrm{Z}_{1},\mathrm{Z}_{2}) com partes reais iguais que satisfaça o sistema dado. Como verificação alternativa, podemos resolver o sistema complexo sem impor a condição das partes reais iguais (por exemplo por regra de Cramer) e encontramos a solução única
\mathrm{Z}_{1}=-\tfrac{1}{2},\qquad \mathrm{Z}_{2}=\tfrac{1+\mathrm{i}}{2},
cuja parte real de \mathrm{Z}_{1} é -\tfrac{1}{2} e a de \mathrm{Z}_{2} é \tfrac{1}{2} — claramente diferentes, confirmando que a condição “partes reais iguais” não é compatível com o sistema.

Resposta

Não existe solução: não há \mathrm{Z}_{1},\mathrm{Z}_{2} com partes reais iguais que satisfaçam o sistema.

Exercícios relacionados