Determinar os números complexos \mathrm{Z}_{1} e \mathrm{Z}_{2}, sabendo que \left\{\begin{array}{l}Z_{1}+Z_{2}=10+8 i \\\\ 2 Z_{1}-5 Z_{2}=-8-33 i\end{array}\right. R: Z_{1}=6+i e Z_{2}=4+7 i

Passo 1

O enunciado pede para determinar os números complexos Z_{1}\) e \(Z_{2}\) sabendo que temos o sistema \[\begin{cases} Z_{1}+Z_{2}=10+8i,\\[4pt] 2Z_{1}-5Z_{2}=-8-33i. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
Z_{1}+Z_{2}=10+8i
e
2Z_{1}-5Z_{2}=-8-33i.
O que precisamos encontrar: os valores de Z_{1}\] e \(Z_{2} que satisfazem simultaneamente essas duas equações.]

Passo 2

Escolhemos o método de substituição (um passo do método de eliminação). Antes de começar, um lembrete didático rápido e amigo: números complexos obedecem as mesmas regras algébricas dos números reais para soma, subtração e multiplicação por escalares. Portanto podemos tratar Z_{1} e Z_{2} como incógnitas e isolar uma delas numa equação para substituir na outra.
A partir da primeira equação isolamos Z_{1}:
Z_{1}=10+8i - Z_{2}.
Aqui apenas subtraímos Z_{2} dos dois lados; é a operação inversa da adição.

Passo 3

Agora substituímos essa expressão de Z_{1} na segunda equação. A segunda é
2Z_{1}-5Z_{2}=-8-33i.
Substituindo Z_{1}=10+8i - Z_{2} obtemos:
2(10+8i - Z_{2}) -5Z_{2} = -8-33i.
Vou desenvolver o lado esquerdo passo a passo: primeiro distribuo o 2:
2\cdot 10 + 2\cdot 8i - 2Z_{2} -5Z_{2} = -8-33i.
Isto é
20 + 16i -2Z_{2} -5Z_{2} = -8-33i.

Passo 4

Combine os termos em Z_{2} no lado esquerdo: -2Z_{2}-5Z_{2} = -7Z_{2}. Então
20 + 16i -7Z_{2} = -8-33i.
Agora isolamos o termo com Z_{2}: subtraímos 20+16i dos dois lados,
-7Z_{2} = -8-33i - (20+16i).
Calcule o lado direito juntando partes reais e imaginárias:
-8-33i -20 -16i = (-8-20) + (-33i-16i) = -28 -49i.
Logo
-7Z_{2} = -28 -49i.

Passo 5

Dividimos ambos os lados por -7 para obter Z_{2}. Como -7 é real, dividimos separadamente as partes real e imaginária:
Z_{2} = \frac{-28 -49i}{-7} = \frac{-28}{-7} + \frac{-49}{-7}i = 4 + 7i.
Pequena explicação: dividir um número complexo por um número real não-zero é só dividir cada parte (real e imaginária) por esse real.

Passo 6

Agora voltamos à expressão que tínhamos para Z_{1}:
Z_{1} = 10+8i - Z_{2}.
Substituindo Z_{2}=4+7i,
Z_{1} = 10+8i - (4+7i) = (10-4) + (8i-7i) = 6 + i.
Pronto — encontramos os candidatos.

Passo 7

Verificação (sempre faça na prova para garantir que não houve erro de cálculo):
  1. Verificar a primeira equação:
Z_{1}+Z_{2} = (6+i) + (4+7i) = (6+4) + (1i+7i) = 10 + 8i,
que coincide com a primeira equação dada.
  1. Verificar a segunda equação:
2Z_{1}-5Z_{2} = 2(6+i) -5(4+7i) = (12+2i) - (20+35i) = (12-20) + (2i-35i) = -8 -33i,
que coincide com a segunda equação dada.
Como ambas conferem, os valores estão corretos.

Resposta

Z_{1}=6+i
Z_{2}=4+7i

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