Determinar os números complexos \mathrm{Z}_{1} e \mathrm{Z}_{2}, sabendo que \left\{\begin{array}{l}Z_{1}+Z_{2}=10+8 i \\\\ 2 Z_{1}-5 Z_{2}=-8-33 i\end{array}\right. R: Z_{1}=6+i e Z_{2}=4+7 i
Passo 1
O enunciado pede para determinar os números complexos Z_{1}\) e \(Z_{2}\) sabendo que temos o sistema
\[\begin{cases} Z_{1}+Z_{2}=10+8i,\\[4pt] 2Z_{1}-5Z_{2}=-8-33i. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
Z_{1}+Z_{2}=10+8i
e
2Z_{1}-5Z_{2}=-8-33i.
O que precisamos encontrar: os valores de Z_{1}\] e \(Z_{2} que satisfazem simultaneamente essas duas equações.]
Passo 2
Escolhemos o método de substituição (um passo do método de eliminação). Antes de começar, um lembrete didático rápido e amigo: números complexos obedecem as mesmas regras algébricas dos números reais para soma, subtração e multiplicação por escalares. Portanto podemos tratar Z_{1} e Z_{2} como incógnitas e isolar uma delas numa equação para substituir na outra.
A partir da primeira equação isolamos Z_{1}:
Z_{1}=10+8i - Z_{2}.
Aqui apenas subtraímos Z_{2} dos dois lados; é a operação inversa da adição.
Passo 3
Agora substituímos essa expressão de Z_{1} na segunda equação. A segunda é
2Z_{1}-5Z_{2}=-8-33i.
Substituindo Z_{1}=10+8i - Z_{2} obtemos:
2(10+8i - Z_{2}) -5Z_{2} = -8-33i.
Vou desenvolver o lado esquerdo passo a passo: primeiro distribuo o 2:
2\cdot 10 + 2\cdot 8i - 2Z_{2} -5Z_{2} = -8-33i.
Isto é
20 + 16i -2Z_{2} -5Z_{2} = -8-33i.
Passo 4
Combine os termos em Z_{2} no lado esquerdo: -2Z_{2}-5Z_{2} = -7Z_{2}. Então
20 + 16i -7Z_{2} = -8-33i.
Agora isolamos o termo com Z_{2}: subtraímos 20+16i dos dois lados,
-7Z_{2} = -8-33i - (20+16i).
Calcule o lado direito juntando partes reais e imaginárias: