Determinar os números complexos
, sabendo que
R:
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar o(s) número(s) complexo(s)
Informações dadas que vamos usar: a soma de
e o produto de
com seu conjugado é
. Nada mais foi pedido além de encontrar os números complexos que cumprem essas igualdades.]
Passo 2
Vamos escrever
em termos das suas partes real e imaginária: seja
onde
e
são números reais e
é a unidade imaginária (
). O conjugado de
é obtido trocando o sinal da parte imaginária, logo
Aqui estou definindo as variáveis:
parte real de
e
parte imaginária de
.
Passo 3
Usando a primeira equação do sistema, calculamos a soma:
Como o enunciado diz que
, temos a equação real
Daí obtemos
Explicação rápida: a soma de um número complexo com seu conjugado elimina a parte imaginária, sobrando simplesmente duas vezes a parte real.
Passo 4
Agora usamos a segunda equação. O produto de um complexo pelo seu conjugado é o quadrado do módulo (ou seja,
):
Como o enunciado diz que esse produto é
, temos
Substituindo
(do Passo 3) obtemos
ou seja
Isolando
,
Portanto
Comentário didático: o produto
ser positivo nos dá a soma dos quadrados das partes real e imaginária; ao conhecer uma das partes (
) podemos achar a outra (
) resolvendo uma equação do tipo
constante.
Passo 5
Concluímos então que a parte real é
e a parte imaginária vale
ou
. Isso significa que existem dois complexos que atendem ao sistema: o com parte imaginária positiva e o com parte imaginária negativa. A relação conjugada entre eles mantém as duas equações verdadeiras (a soma dá
e o produto dá
).
Passo 6
Verificação rápida (para garantir que não houve erro): se a parte imaginária for
, então o número é
e seu conjugado é
. A soma é
e o produto é
. Se a parte imaginária for
, o número é
e seu conjugado é
, e as igualdades também são satisfeitas. Logo ambas as possibilidades estão corretas.