Determinar os números complexos Z, sabendo que \left\{\begin{array}{l}Z+\bar{Z}=6 \\\ Z \cdot \bar{Z}=25\end{array}\right. R: Z=3+4 i e \bar{Z}=3-4 i

Passo 1

O enunciado pede para determinar o(s) número(s) complexo(s) Z\) que satisfazem o sistema \[\begin{cases} Z+\bar{Z}=6\\[4pt] Z\cdot\bar{Z}=25 \end{cases}
Informações dadas que vamos usar: a soma de Z\] com seu conjugado é \(6 e o produto de Z com seu conjugado é 25. Nada mais foi pedido além de encontrar os números complexos que cumprem essas igualdades.]

Passo 2

Vamos escrever Z em termos das suas partes real e imaginária: seja
Z = x + i y,
onde x e y são números reais e i é a unidade imaginária ( i^2=-1). O conjugado de Z é obtido trocando o sinal da parte imaginária, logo
\bar{Z} = x - i y.
Aqui estou definindo as variáveis: x= parte real de Z e y= parte imaginária de Z.

Passo 3

Usando a primeira equação do sistema, calculamos a soma:
Z+\bar{Z} = (x+iy) + (x-iy) = 2x.
Como o enunciado diz que Z+\bar{Z}=6, temos a equação real
2x = 6.
Daí obtemos
x = \frac{6}{2} = 3.
Explicação rápida: a soma de um número complexo com seu conjugado elimina a parte imaginária, sobrando simplesmente duas vezes a parte real.

Passo 4

Agora usamos a segunda equação. O produto de um complexo pelo seu conjugado é o quadrado do módulo (ou seja, x^2+y^2):
Z\cdot\bar{Z} = (x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2.
Como o enunciado diz que esse produto é 25, temos
x^2 + y^2 = 25.
Substituindo x=3 (do Passo 3) obtemos
3^2 + y^2 = 25,
ou seja
9 + y^2 = 25.
Isolando y^2,
y^2 = 25 - 9 = 16.
Portanto
y = \pm 4.
Comentário didático: o produto Z\bar{Z} ser positivo nos dá a soma dos quadrados das partes real e imaginária; ao conhecer uma das partes ( x) podemos achar a outra ( y) resolvendo uma equação do tipo y^2= constante.

Passo 5

Concluímos então que a parte real é x=3 e a parte imaginária vale y=4 ou y=-4. Isso significa que existem dois complexos que atendem ao sistema: o com parte imaginária positiva e o com parte imaginária negativa. A relação conjugada entre eles mantém as duas equações verdadeiras (a soma dá 6 e o produto dá 25).

Passo 6

Verificação rápida (para garantir que não houve erro): se a parte imaginária for 4, então o número é 3+4i e seu conjugado é 3-4i. A soma é 6 e o produto é 3^2+4^2=9+16=25. Se a parte imaginária for -4, o número é 3-4i e seu conjugado é 3+4i, e as igualdades também são satisfeitas. Logo ambas as possibilidades estão corretas.

Resposta

Z=3+4i,\\ \bar{Z}=3-4i
Z=3-4i,\\ \bar{Z}=3+4i

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