Resolva os sistemas de equações onde z e w são complexos:
\left\{\begin{array}{l}\mathrm{iz}+(1+\mathrm{i}) \mathrm{w}=1, \\\ (1+\mathrm{i}) \overline{\mathrm{z}}-(6+\mathrm{i}) \overline{\mathrm{w}}=-4-8 \mathrm{i}\end{array}\right.. R:

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações em que z\) e \(w\) são números complexos: \[\begin{cases} \mathrm{i}z+(1+\mathrm{i})w=1,\\[4pt] (1+\mathrm{i})\overline{z}-(6+\mathrm{i})\overline{w}=-4-8\mathrm{i}. \end{cases}
Informações dadas que vamos usar:
  1. As incógnitas são z\] e \(w (complexos).
  2. A primeira equação envolve z e w.
  3. A segunda equação envolve \overline{z} e \overline{w} (os conjugados).
    O objetivo é encontrar os valores de z e w.]

Passo 2

Estratégia didática (por que esse caminho?): como a segunda equação já usa \overline{z} e \overline{w}, é conveniente obter outra equação também em \overline{z} e \overline{w}. Para isso, vou conjugar a primeira equação — lembrar que a conjugação satisfaz \overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}, \overline{ab}=\overline{a}\,\overline{b} e \overline{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}. Conjugar a primeira equação nos dará uma segunda relação linear em \overline{z} e \overline{w}, e então resolvemos o sistema linear para \overline{z} e \overline{w}. Depois conjugamos os resultados para obter z e w.

Passo 3

Conjugando a primeira equação \mathrm{i}z+(1+\mathrm{i})w=1 termo a termo obtemos
\overline{\mathrm{i}z}+\overline{(1+\mathrm{i})w}=\overline{1}.
Usando \overline{\mathrm{i}}=-\mathrm{i} e \overline{1}=1 e a propriedade do produto, isso vira
-\mathrm{i}\,\overline{z}+(1-\mathrm{i})\overline{w}=1.
Chamemos essa equação de (C1) e a segunda do enunciado de (C2):
\text{(C1)}\quad -\mathrm{i}\,\overline{z}+(1-\mathrm{i})\overline{w}=1,
\text{(C2)}\quad (1+\mathrm{i})\overline{z}-(6+\mathrm{i})\overline{w}=-4-8\mathrm{i}.

Passo 4

Para facilitar a resolução, vamos tratar \overline{z} e \overline{w} como incógnitas A e B:
A=\overline{z},\qquad B=\overline{w}.
O sistema fica
\begin{cases} -\mathrm{i}A+(1-\mathrm{i})B=1,\\[4pt] (1+\mathrm{i})A-(6+\mathrm{i})B=-4-8\mathrm{i}. \end{cases}]

Passo 5

Da primeira equação do sistema em A,B isolamos A. Começamos por multiplicar por -1:
\mathrm{i}A-(1-\mathrm{i})B=-1.
Passando o termo em B para o outro lado:
\mathrm{i}A=-1+(1-\mathrm{i})B.
Agora dividimos por \mathrm{i}. Lembre que \dfrac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}. Portanto
A=\frac{-1+(1-\mathrm{i})B}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}\bigl(-1+(1-\mathrm{i})B\bigr).
Multiplicando e simplificando (fazendo passo a passo): -\mathrm{i}(-1)=\mathrm{i} e -\mathrm{i}(1-\mathrm{i})=-\mathrm{i}+ \mathrm{i}^2=-\mathrm{i}-1=-(1+\mathrm{i}). Assim obtemos
A=\mathrm{i}-(1+\mathrm{i})B.

Passo 6

Substituímos A na segunda equação (1+\mathrm{i})A-(6+\mathrm{i})B=-4-8\mathrm{i}. Ou seja,
(1+\mathrm{i})\bigl(\mathrm{i}-(1+\mathrm{i})B\bigr)-(6+\mathrm{i})B=-4-8\mathrm{i}.
Agora expandimos termo a termo. Primeiro calcule (1+\mathrm{i})\mathrm{i}: isso é \mathrm{i}+ \mathrm{i}^2=\mathrm{i}-1=-1+\mathrm{i}. Em seguida calcule (1+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})=(1+\mathrm{i})^2. Expandindo:
(1+\mathrm{i})^2=1+2\mathrm{i}+\mathrm{i}^2=1+2\mathrm{i}-1=2\mathrm{i}.
Portanto a expansão fica
(-1+\mathrm{i})-(2\mathrm{i})B-(6+\mathrm{i})B=-4-8\mathrm{i}.

Passo 7

Agrupando os termos em B:
(-1+\mathrm{i})+(-2\mathrm{i}-6-\mathrm{i})B=(-1+\mathrm{i})+(-6-3\mathrm{i})B=-4-8\mathrm{i}.
Passando (-1+\mathrm{i}) para o outro lado:
(-6-3\mathrm{i})B=(-4-8\mathrm{i})-(-1+\mathrm{i}).
Calculamos o lado direito:
(-4-8\mathrm{i})-(-1+\mathrm{i})=-4-8\mathrm{i}+1-\mathrm{i}=-3-9\mathrm{i}.
Logo
(-6-3\mathrm{i})B=-3-9\mathrm{i}.

Passo 8

Resolvemos para B dividindo ambos os lados por -6-3\mathrm{i}. Observe que podemos fatorar -3:
B=\frac{-3-9\mathrm{i}}{-6-3\mathrm{i}}=\frac{-3(1+3\mathrm{i})}{-3(2+\mathrm{i})}=\frac{1+3\mathrm{i}}{2+\mathrm{i}}.
Para simplificar a divisão, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador 2-\mathrm{i}:
B=\frac{(1+3\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}{(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})}.
Calculamos o numerador:
(1+3\mathrm{i})(2-\mathrm{i})=2- \mathrm{i}+6\mathrm{i}-3\mathrm{i}^2=2+5\mathrm{i}+3=5+5\mathrm{i}.
E o denominador:
(2+\mathrm{i})(2-\mathrm{i})=2^2+1^2=4+1=5.
Assim
B=\frac{5+5\mathrm{i}}{5}=1+\mathrm{i}.
Portanto \overline{w}=B=1+\mathrm{i}.

Passo 9

Como B=\overline{w}=1+\mathrm{i}, obtemos w=\overline{B}=1-\mathrm{i}. Agora voltamos para A. Lembrando A=\mathrm{i}-(1+\mathrm{i})B (Passo 5), substituímos B=1+\mathrm{i}:
A=\mathrm{i}-(1+\mathrm{i})(1+\mathrm{i}).
Mas já vimos que (1+\mathrm{i})^2=2\mathrm{i}. Logo
A=\mathrm{i}-2\mathrm{i}=-\mathrm{i}.
Assim \overline{z}=A=-\mathrm{i}, portanto z=\overline{A}=\mathrm{i}.

Passo 10

Verificação rápida (importante em prova): substituir z=\mathrm{i} e w=1-\mathrm{i} na primeira equação:
\mathrm{i}z+(1+\mathrm{i})w=\mathrm{i}\cdot\mathrm{i}+(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i}).
Calculando: \mathrm{i}\cdot\mathrm{i}=\mathrm{i}^2=-1. E (1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=1^2-(\mathrm{i})^2=1- \mathrm{i}^2=1-(-1)=2. Soma: -1+2=1. Ok.
Na segunda equação, usar \overline{z}=-\mathrm{i} e \overline{w}=1+\mathrm{i}:
(1+\mathrm{i})(-\mathrm{i})-(6+\mathrm{i})(1+\mathrm{i}).
Calculamos: (1+\mathrm{i})(-\mathrm{i})=-\mathrm{i}-\mathrm{i}^2=-\mathrm{i}+1=1-\mathrm{i}. E (6+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})=6(1+\mathrm{i})+\mathrm{i}(1+\mathrm{i})=6+6\mathrm{i}+\mathrm{i}+ \mathrm{i}^2=6+7\mathrm{i}-1=5+7\mathrm{i}. Subtraindo:
(1-\mathrm{i})-(5+7\mathrm{i})=1-\mathrm{i}-5-7\mathrm{i}=-4-8\mathrm{i},
que é exatamente o lado direito. Verificação OK.

Resposta

z=\mathrm{i}
w=1-\mathrm{i}

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