Resolva os sistemas de equações onde z e w são complexos: \left\{\begin{array}{l}\mathrm{iz}+(1+\mathrm{i}) \mathrm{w}=1, \\\ (1+\mathrm{i}) \overline{\mathrm{z}}-(6+\mathrm{i}) \overline{\mathrm{w}}=-4-8 \mathrm{i}\end{array}\right.. R:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de equações em que z\) e \(w\) são números complexos:
\[\begin{cases} \mathrm{i}z+(1+\mathrm{i})w=1,\\[4pt] (1+\mathrm{i})\overline{z}-(6+\mathrm{i})\overline{w}=-4-8\mathrm{i}. \end{cases}
Informações dadas que vamos usar:
As incógnitas são z\] e \(w (complexos).
A primeira equação envolve z e w.
A segunda equação envolve \overline{z} e \overline{w} (os conjugados).
O objetivo é encontrar os valores de z e w.]
Passo 2
Estratégia didática (por que esse caminho?): como a segunda equação já usa \overline{z} e \overline{w}, é conveniente obter outra equação também em \overline{z} e \overline{w}. Para isso, vou conjugar a primeira equação — lembrar que a conjugação satisfaz \overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}, \overline{ab}=\overline{a}\,\overline{b} e \overline{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}. Conjugar a primeira equação nos dará uma segunda relação linear em \overline{z} e \overline{w}, e então resolvemos o sistema linear para \overline{z} e \overline{w}. Depois conjugamos os resultados para obter z e w.
Passo 3
Conjugando a primeira equação \mathrm{i}z+(1+\mathrm{i})w=1 termo a termo obtemos
Multiplicando e simplificando (fazendo passo a passo): -\mathrm{i}(-1)=\mathrm{i} e -\mathrm{i}(1-\mathrm{i})=-\mathrm{i}+ \mathrm{i}^2=-\mathrm{i}-1=-(1+\mathrm{i}). Assim obtemos
A=\mathrm{i}-(1+\mathrm{i})B.
Passo 6
Substituímos A na segunda equação (1+\mathrm{i})A-(6+\mathrm{i})B=-4-8\mathrm{i}. Ou seja,
Agora expandimos termo a termo. Primeiro calcule (1+\mathrm{i})\mathrm{i}: isso é \mathrm{i}+ \mathrm{i}^2=\mathrm{i}-1=-1+\mathrm{i}. Em seguida calcule (1+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})=(1+\mathrm{i})^2. Expandindo:
Como B=\overline{w}=1+\mathrm{i}, obtemos w=\overline{B}=1-\mathrm{i}. Agora voltamos para A. Lembrando A=\mathrm{i}-(1+\mathrm{i})B (Passo 5), substituímos B=1+\mathrm{i}:
A=\mathrm{i}-(1+\mathrm{i})(1+\mathrm{i}).
Mas já vimos que (1+\mathrm{i})^2=2\mathrm{i}. Logo
A=\mathrm{i}-2\mathrm{i}=-\mathrm{i}.
Assim \overline{z}=A=-\mathrm{i}, portanto z=\overline{A}=\mathrm{i}.
Passo 10
Verificação rápida (importante em prova): substituir z=\mathrm{i} e w=1-\mathrm{i} na primeira equação: